Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2017 - 2018 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ————————————

Câu 1 (1.0 điểm). Cho hàm số 4 2 1 2 1 4    y x x có đồ thị là  C . Tính diện tích tam giác có các

đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị  C .

Câu 2 (1.0 điểm). Cho hàm số 1 2    x y x có đồ thị  C và đường thẳng : 2 1    d y x m ( m là

tham số thực). Chứng minh rằng với mọi , m đường thẳng d luôn cắt  C tại hai điểm phân biệt

, . A B Gọi 1 2 , k k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với  C tại A và . B Xác định m để biểu thức

    2 2 1 2 3 1 3 1     P k k đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 (1.0 điểm). Cường độ động đất M được cho bởi công thức 0 log log   M A A trong đó A là

biên độ rung chấn tối đa, 0 A là biên độ chuẩn (hằng số). Một trận động đất ở Xan Phranxixcô có

cường độ 8 độ richter, trong cùng năm đó một trận động đất khác ở gần đó đo được cường độ là 6 độ richter. Hỏi trận động đất ở Xan Phranxixcô có biên độ rung chấn tối đa gấp bao nhiêu lần biên độ rung chấn tối đa của trận động đất kia?

Câu 4 (1.0 điểm). Cho hàm số

2 2 1 1 1 ( 1) ( ) ( 0).

     x x f x e x Tính (1). (2). (3)... (2017) f f f f .

Câu 5 (1.0 điểm). Giải phương trình: 2 sin3 2cos 1   x x .

Câu 6 (1.0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, 2 3 , 2 AC a BD a   ;

hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm C

đến mặt phẳng ( ) SAB bằng 3 2 a . Tính thể tích khối chóp . S ABC theo a.

Câu 7 (1.0 điểm). Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2 a và tam giác SAB là tam giác cân tại đỉnh S . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 0 45 , góc giữa mặt phẳng   SAB và mặt phẳng đáy bằng 0 60 . Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) SAD .

Câu 8 (1.0 điểm). Trong không gian cho 2n điểm phân biệt   4, n n  , trong đó không có ba

điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng. Tìm tất cả các giá trị của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt.

Câu 9 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 4 0   d mx y và đường

tròn 

2 2 2 : 2 2 24 0       C x y x my m có tâm .I Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn ( ) C

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.

Câu 10 (1.0 điểm). Cho ,a b là hai số thực dương thoả mãn: 2 2 2( ) ( )( 2)      a b ab a b ab . Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 2 2

3 3 2 2 4 9                

a b a b T b a b a .

------------------------------------Hết----------------------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:................................................................. ; Số báo danh:.........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————————

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 Môn: TOÁN - THPT

(Gồm 06 trang) Lưu ý

- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không

được điểm. - Trong lời giải câu 6, 7 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu Nội dung trình bày Điểm

1

Câu 1 (1.0 điểm). Cho hàm số 4 2 1 2 1 4    y x x có đồ thị là (C). Tính diện tích tam

giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị (C).

Ta có 3 0

' 4 ; y'=0 2 2

         

x

y x x x x

Suy ra 3 điểm cực trị là ( 2; 3); (0;1); (2; 3)    A B C

0.25

Các điểm cực trị tạo thành tam giác ABC cân tại B

Gọi H là trung điểm của AC (0; 3)   H và  BH AC

0.25

Ta có (0; 4) 4     BH BH ; (4;0) 4    AC AC 0.25

Vậy …