Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 THPT học 2017 - 2018 sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế

Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549

1

Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi thừa thiên huế

năm học 2017 - 2018. (Lời giải gồm 07 trang)

Câu 1: (4,0 điểm) Cho hàm số   2 , . 1   

m x m y H mx

a) Khi 1,  m hàm số đã cho có đồ thị   1 H cắt hai trục , Ox Oy lần lượt tại hai điểm A và

. B Tính diện tích tam giác . OAB b) Chứng minh rằng với mọi 0  m thì đồ thị hàm số   m H cắt đường thẳng

: 2 2   d y x m tại hai điểm phân biệt , C D thuộc một đường   H cố định. Đường

thẳng  d cắt , Ox Oy lần lượt tại các điểm , . M N Tìm m để 3 .  OCD OMN S S

Hướng dẫn giải:

a) Khi . 1,  m . hàm số đã cho trở thành:   1 2 1 . 1    x y H x

Gäi       1

1

1 1 ;0 , 0; 1 ; 1. 2 2

                  

A H Ox

A B OA OB B H Oy

Tam giác OAB vuông tại O nên: 1 1 1 1 . . .1 2 2 2 4    OAB S OAOB (đvdt).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của   m H và  d là:

  

1 0 2 2 2 ( ) 2 2 2 1 1

            

mx x m x m I x m x m mx mx

Víi 0  m th× .

2 2 2

1 1 ( )

2 2 0 2 2 1 0 (*)

                  

x x I m m mx m x m x mx

.

Phương trình (*) có 2 2 0, 0       m m và:

2

2 1 1 2 2. 2 . 1 1 0, 0                    m m m m m

Suy ra 0   m phương trình (*) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt đều khác 1 m .

Vậy 0   m thì   m H và  d luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

*Gọi 1 2 , x x là 2 nghiệm của (*), theo định lÝ Vi-ét thì:

1 2

2 1 2 1

1 . 1 2 2

       

x x m

x x x x

Gọi     1 1 2 2 ; , ; C x y D x y là 2 giao điểm của   m H và  d .

Ta cã:   1 1 1 1 2 2

1 1

1 1 2 2 2 2 2 2. 2                y x m x x x x x x .

Tương tự 2

2

1 .  y x Vậy hai điểm , C D nằm trên đồ thị hàm số   1 .  y H x (ĐPCM)

Giải đề thi HSG TTHuế năm 2017 - 2018

2

*Ta cã:       ;0 , 0; 2 ; 2 2 .              

M d Ox

M m N m OM m ON m m N d Oy

Khi đó 2 1 1 . .2 . 2 2    OMN S OM ON m m m

Ta cã     

 

4 4 4 4 4 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 .

                 

x x x x x x OC OD x x x x x x x x

         

2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 2 1 2 . 2 2                    x x x x x x x x x x x x m m m

VËy

4 2

4 2 1 1 1 2 25 16 2 . 4 8 . 1 4 4

       m m OC OD m m

Ta cã 4 2 2 1 25 3 4 8 3 2 4      OCD OMN S S m m m

4 2 2 2 3 6 2 3 6 128 32 25 0 . 16 4           m m m m

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình sau: 1 1 4cos . 3 4 cos sin 2 2

  

                      

x x x

b) Giải phương trình sau:     3 2 2 5 1 1 4 25 18 , 0.       x x x x x

Hướng dẫn giải:

a) §iÒu kiÖn  

cos 0 sin 0 2 . cos 0 2 3 sin 0 2



 

                               

 x x x k k x x

Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với:

   

4 tan 1 cos sin 0 1 1 2 2 cos sin 1 sin 2 sin cos 8 2 2 sin cos 1 2 3

8

 

 

 

                            

  



x k x x x x x x k k x x x x x

x k

Đối chiếu với ĐK ta được phương trình có 3 họ nghiệm là: 4     x k ; 8     x k ;

  3

8

     x k k .