Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm học 2017 - 2018 sở GD và ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2 điểm)

1. Cho hàm số x 1 y = x +1  có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực ;

4 2 4 2 1 1 1 ( ) x x x m x x x      

Câu 2 (2 điểm)

1. Giải phương trình:

2 2017 2018 x sin x cos x cosx 2    .

2. Giải hệ phương trình: 

   2 20 6 17 5 3 6 3 5 0 1 , 2 2 5 3 3 2 11 6 13 2

x y x x y y x y x y x y x x

                 

Câu 3 (2 điểm) 1. Môn bóng đá nam SE GAME có 10 đội bóng tham dự trong đó có Việt Nam và Thái Lan. Chia 10 đội bóng này thành 2 bảng A, B. Mỗi bảng có 5 đội. Tính xác suất sao cho Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng.

2. Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện: 2 2 6

1   u , n n u u    2 1 víi mäi n=1, 2, ....

Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm 2 . 2 n n Lim u  . Câu 4 (3 điểm) 1. Cho tứ diện ABCD có , , AB CD c AC BD b AD BC a      . a.Tính góc giữa hai đường thẳng AB, CD. b.Chứng minh rằng trọng tâm của tứ diện ABCD cách đều tất cả các mặt của tứ diện.

2. Cho hình chóp S.ABCD có SA = x , tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Tính thể tích khối chóp đó theo x và tìm x để thể tích đó là lớn nhất. Câu 5 (1 điểm). Cho các số thực a, b, c sao cho a  0, b  0, 0 c  1 và a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

P = 2ab + 3bc + 3ca + 6 a b c  

…………………Hết…………………. Họ và tên thí sinh:………………Số báo danh:………………………… Chữ ký của giám thị 1:…………Chữ ký của giám thị 2:……………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu Ý Nội dung Điểm

I 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 1,00

Tâm đối xứng của đồ thị là I(–1; 1) Gọi N(x0,y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị, khi đó tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình:

 

 

0 0 2 0 0

1 2 1 1

x y x x x x

       2 2 0 0 0

1

2 ( 1) 2 1 0

x

x x y x x

        

0,25

Gọi d là khoảng cách từ I đến tiếp tuyến trên ta có:

0 0 4 0

4 1 ; 1 4 ( 1)

x d x x

     ,

0,25

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có

4 4 2 0 0 0

4 0 0

0

4 0

4 ( 1) 2 4.( 1) 4( 1)

4 ( 1) 2 1

4 1 2 4 ( 1)

x x x

x x

x d x

     

    

     

dấu '="

0 4 0

0

1 2 4 ( 1) 1 2

x x x

       

0,25

Vậy ứng với hai giá trị đó ta có hai tiếp tuyến sau: (2 2) y x    ;

(2 2) y x    ; 0,25

2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực ;

4 2 4 2 1 1 1 ( ) x x x m x x x       1,00

ĐK: 0 x 

Đặt t= 1 x x  ( ĐK 2 t  )

Ta có

2 2 2 2

2 4 2 4 2 4 2

1 1 2 2

1 1 2 4 2

x x t x x

x x t t x x

           

                  

0,25

Phương trình đã cho trở thành:   4 2 2 4 2 2 t t t t m     