Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp trường năm 2017 - 2018 trường Lý Thái Tổ - Bắc Ninh

Câu I. (4,0 điểm)

1) Cho hàm số 2 1 x y x - = + có đồ thị là  C và M là điểm thuộc  C . Tiếp tuyến của  C tại M cắt hai

đường tiệm cận của  C tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho bán kính

đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất.

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( ) ( ) 3 2 2 1 1 3 5 1 3 y x m x m x m = - - - - + + đồng

biến trên khoảng ( ) 0;3 .

Câu II. (4,0 điểm) 1) Tính tổng các nghiệm thuộc 0;2018p é ù ê ú ë û của phương trình:

2 2 sin 3 sin 2 3 3 sin 3 cos 1 x x x x + = + -

2) Tính tổng: 1 2 2 2 3 3 4 2016 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2 3.2 4.2 ... 2017.2 . S C C C C C = - + - + +

Câu III. (4,0 điểm)

1) Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 1 log 4 4 log 2 log 4 2 x x x x - + + + > -

2) Giải hệ phương trình: ( ) ( )

3 17 3 5 3 14 4 0

4 2 8 ( 2) 3 5 2 14

x x y y

x x y x y x

ìï - - + - - = ïïíï + + - + + - = + ïïî

( ) , x y Î 

Câu IV. (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Biết điểm ( ) 1; 1 D - - , đường thẳng IG có phương trình 6 3 7 0 x y - - = và điểm E có hoành độ bằng 1. Tìm tọa độ các

đỉnh của tam giác ABC. 2) Cho hình chóp . S ABCD có , SA x = tất cả các cạnh còn lại bằng 1. Tính thể tích khối chóp đó theo x và tìm x để thể tích đó là lớn nhất. 3) Cho hình chóp . S ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh a và hình chiếu của S lên mặt phẳng

( ) ABC là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho    0 0 0 150 , 120 , 90 AHB BHC CHA = = = .Biết tổng diện

tích các mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp . , . , . S HAB S HBC S HAC bằng 2 31 . 3 a p Tính theo a thể tích khối

chóp . S ABC .

Câu V. (2,0 điểm)Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn 1 abc = và 3 3 1 2 a b b a ab ab + + = + . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức: 2 2 1 1 3 1 2 1 1 P c a b = + - + + + .

---------------Hết---------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……….………..…….................…….….….; Số báo danh:……….....……….

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ (Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: Toán – Lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16 tháng 09 năm 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: Toán – Lớp 12

Câu Lời giải sơ lược Điểm 1.1 (2,0 điểm)

Gọi M

0 0 0

x 2 x ; x 1         (C)

Phương trình tiếp tuyến tại M: 0 0 2 0 0

x 2 3 y (x x ) (x 1) x 1      

Khi đó: A 0

0

x 5 1; x 1          B(2x0+1; 2) ; I(-1; 1)

1,0

*Ta có: SIAB = 2 1 . IA. IB = 0 0

1 6 2 x 1 2.3 6 2 x 1       (đvdt)

max min .      IAB S S p r r r p p

Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất khi IA = IB hay

0 0 0 0

x 1 3 6 2 x 1 x 1 x 1 3

       

*Vậy có 2 điểm thoả mãn

M1( 1 3;1 3   )

M2( 1 3;1 3   )

1,0

1.2 (2,0 điểm)

TXĐ:      2 ' 2 1 3 y x m x m     

Do phương trình ' 0 y  có nhiều nhất hai nghiệm trên , nên để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   0;3   ' 0, 0;3 y x   

1,0

 

2 2 3 , 0;3 2 1 x x m x x       .

Xét hàm số 

2 2 3 2 1 x x g x x     trên khoảng   0;3

     

2

2 1 2 2 4 ' ; ' 0 2 2 1

x x x g x g x x loai x

        

0,5

Từ BBT,    , 0;3 2 g x m x m    

Vậy, 2 m  thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   0;3 0,5

2.1 (2 điểm)

2 2sin 3sin 2 3 3sin 3cos 1 x x x x    . (1) (1)   2 2 3sin 2 3sin x cos cos 3 3sinx cos      x x x x 0,5

 

2 3sinx cos 3( 3sinx cos )     x x 1,0