Đề thi chọn HSG Toán 12 năm học 2017 - 2018 trường THPT Lê Quý Đôn - Thái Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH THPT LÊ QUÝ ĐÔN --------&&&-------

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi : Toán - Thời gian làm bài 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1.(5 điểm)

Cho hàm số 2 1 2 2 x y x

   có đồ thị là (H). M là điểm trên (H) sao cho xM > 1, tiếp tuyến của (H) tại

M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B. Xác định toạ độ điểm M sao cho 8 OIB OIA S S    ( trong đó O là gốc toạ độ, I là giao của hai tiệm cận)

Bài 2.(6 điểm) 1) Giải hệ phương trình

                

2 2 2 x 2y x 2y 2y x 2

2

4 9.3 4 9 .7

2 x 2x 2y 2x 4

2) Giải bất phương trình:   2 2 5 4 1 ( 2 4) x x x x x      .

3) Cho ba số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

24 3 P = - . 13a +12 ab +16 a +b + c bc

Bài 3.(6 điểm). 1) . Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC; M, N lần lượt là trung

điểm của AH, BH. Trên cạnh CD lấy điểm K sao cho MNCK là hình bình hành. Biết 9 2 ; 5 5 M       ,

K(9; 2) và các đỉnh B,C lần lượt nằm trên các đường thẳng 1 2 : 2 2 0, : x y 5 0 d x y d      . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết hoành độ điểm C lớn hơn 4. 2) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC = 3a, AC = 4a, cạnh

BB’ = 2 22 a 3 . Hình chiếu vuông góc của B’ trên (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC.

Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’.

3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, góc  0 60 BAD  , SA = = SB = SD = 1. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AD sao cho mp(SMN) vuông góc với (ABCD). Đặt AM = x, AN = y, tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diện SAMN nhỏ nhất. Bài 4.(2 điểm)

Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn A B C 2sinA + 3sinB + 4sinC = 5cos 3cos cos 2 2 2   .

Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Bài 5.(1 điểm) Trong mặt phẳng có n điểm, trong đó có k điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết rằng từ n điểm đó tạo được 36 đường thẳng phân biệt và tạo được 110 tam giác khác nhau. Hãy tìm n, k. ---------Hết-------- Lưu ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: ……………………………………...Số báo danh:………………..…………..

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH --------&&&------- THPT Lê Quý Đôn

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi : Toán ( Gồm 6 trang) Bài (5 đ) Cho hàm số 2 1 2 2 x y x

   có đồ thị là (H). M là điểm trên (H) sao cho xM > 1, tiếp tuyến của

(H) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B. Xác định toạ độ điểm

M sao cho 8 OIB OIA S S    ( trong đó O là gốc toạ độ, I là giao của hai tiệm cận)

0 0 0 0

2 1 ; , 1 2 2 x M x x x          thuộc (H), Tiếp tuyến của (H) tại M có phương trình

 

0 0 2 0 0

2 1 2 ( ): ( ) 2 2 2 2

x d y x x x x

      

1.0

(d) cắt tiệm cận đứng tại 0

0 1; 1 x A x        , (d) cắt tiệm cận ngang tại B(2x0 – 1; 1) 1.0

IA =

0

1 1 x , IB = 0 2( 1) x  1.0

8 OIB OIA S S       2 0 0 0 0 0

1( ) 8 2( 1) 1 4 3( ) 1

x ktm x x x tm x

           1.0

Vậy 5 3; 4 M       1.0

Bài 2 1 (2đ) Giải hệ phương trình

 

2 2 2 x 2y x 2y 2y x 2

2

4 9.3 4 9 .7

2 x 2x 2y 2x 4

              

Đk: y – x 2 0 (*)   Đặt t = x2 – 2y

Pt(1) trở thành :  

t 2 2t t 2 t 2 – t t 2 2t 4 3 4 3 4 3 4 9 .7 7 7

         

0.5

x

x

f(t 2) f(2t) t 2 2t t 2

4 3 Với f(x) = nghịch biến trên R 7

     

      

Từ đó 2y = x2 – 2

0.5

Thay 2y = x2 – 2 vào pt(2) ta được 2 2 2 x 2x x 2x 2 (3)     

Đặt 2 x 2x 2 a 1     phương trình (3) trở thành 2a a (2 2) 0 (4)    

0.5

Giải pt (4) được

x 0 (tm *) y 1 a 2 tìm đ−ợc x 2 (tm *) y 1

               

0.5

Bài 2