Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia THPT 2018 môn Toán sở GD và ĐT Bắc Ninh

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2018 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (4,0 điểm)

Cho dãy số   nx xác định bởi: ( )

1

0 0

2017 2017; 1 .

-

= = = - ³ å

n

n k k x x x n n Tìm giới hạn:

2017 2

0 2

. 2 5 lim 2018 4 3

= + = - + - å k k k n x L n n .

Câu 2. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số :    f thỏa mãn điều kiện:

2 ( ) ( ) ( ) ( ), , . + = + " Î  xf x xy xf x f x f y x y

Câu 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) O , có trực tâm . H Gọi , , M N P là trung

điểm của , , . BC CA AB Đường tròn đường kính AH và đường tròn ( ) O cắt nhau tại . ¹ T A

AT cắt BC tại Q . NP cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ( ) O tại . R

a) Chứng minh rằng QR vuông góc . OH

b) Đường thẳng đối xứng với HM qua phân giác trong góc  BHC cắt đoạn thẳng BC tại .I Gọi K là hình chiếu của A trên . HI Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK tiếp xúc với đường tròn ( ). O

Câu 4. (3,0 điểm)

Tìm tất cả các giá trị tự nhiên của n để biểu thức (3 )! !( 1)!( 2)! = + + n A n n n có giá trị

nguyên. Câu 5. (4,0 điểm) a) Cho S là tập gồm 2017 số nguyên tố phân biệt và M là tập gồm 2018 số tự nhiên phân biệt sao cho mỗi số trong M đều không là số chính phương và chỉ có ước nguyên tố thuộc . S Chứng minh rằng có thể chọn ra trong M một số số có tích là một số chính phương. b) Có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, mỗi học sinh có thể tham gia nhiều câu lạc bộ và mỗi câu lạc bộ có đúng 3 học sinh tham gia. Biết rằng không có 2 câu lạc bộ nào có 3 học sinh giống nhau. Chứng minh rằng có 2 câu lạc bộ chung nhau đúng 1 học sinh.

------------ Hết ------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.....................................................................Số báo danh :…………...

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2018 Môn thi: Toán Câu Đáp án Điểm 1

Cho dãy số   nx xác định bởi: ( )

1

0 0

2017 2017; 1 .

-

= = = - ³ å

n

n k k x x x n n Tìm giới hạn

2017 2

0 2

. 2 5 lim 2018 4 3

= + = - + - å k k k n x L n n .

4,0

*) Tính

2017

0 2

= = å k k k S x

Ta có

1 2

1 0 0 2017 ; ( 1) 2017

- -

- = = = - - = - å å

k k

k i k i i i kx x k x x

1 1 1 2017 1 ( 1) 2017 ( 1) (*) - - - - +  - - = -  = - " ³ k k k k k k kx k x x x x k k

1,0

Từ (*) suy ra 1 2 2017 2 1 - - - + = - - k k k x x k

…

2 1

1 0

2017 1 2 2017 0 1

- = -

- = -

x x

x x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

2017

2017 1 2017 2 2017 0 1 ... 1 1

2017! 1 .2017 1 2017. 1 ! 2017 !

é ù é ù é ù - - - - - ê ú ê ú ê ú  = - ê ú ê ú ê ú - ê ú ê ú ë û ë û ë û

= - = - " ³ -

k

k

k k k

k k x x k k

C k k k

( ) ( ) ( )

2017 2017 2017

2017 2017 0 0 2017 2 1 2017 2 2017 1 2 2017

= =  = - = - = - = - å å

k k k k k

k k S C C

2,0

*) Do đó:

2

2 2017 5 2017 lim . 2018 2018 4 3 - + = = - + - n L n n 1,0