Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2016 - 2017 sở GDĐT Lai Châu

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: …. 4/2017 Câu 1 ( 2,0 điểm)

Cho hàm số 3 2 3 4 y x x mx = + − − (m là tham số). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ;0 −∞ . Câu 2 ( 4,0 điểm)

Giải phương trình: ( ) − + + = + + − x x x x 3 2 3 4 3 2 1 3 ( ) x R ∈ .

Câu 3 ( 4,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAC là tam

giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABC), đường SB tạo với

mặt phẳng (ABC) một góc 0 60 , M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối

S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.

Câu 4 ( 3,0 điểm)

Giải hệ phương trình ( ) , x y y x x y x y R x x y x y

 − − − = − + − +  ∈  − + − − + = − 

2 2

2 2 3 4 6 5

2 3 5 2 1 3

.

Câu 5 ( 3,0 điểm)

Cho a 0,b 0,c 0 > > > . Chứng minh rằng: 25 16 8 a b c b c c a a b + + > + + + .

Câu 6 ( 4,0 điểm)

Có 2017 học sinh đứng thành vòng tròn và quay mặt vào giữa để chơi trò đếm số như dưới đây: Mỗi học sinh đếm một số lần lượt theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ học sinh A nào đó. Các số được đếm là 1, 2, 3 và cứ lặp lại theo thứ tự như thế. Nếu học sinh nào đếm số 2 hoặc số 3 thì phải dời khỏi ngay vị trí ở vòng tròn. Học sinh còn lại cuối cùng sẽ được thưởng. Hỏi học sinh muốn nhận phần thưởng thì lúc bắt đầu chơi phải chọn vị trí thứ bao nhiêu theo chiều kim đồng hồ kể từ học sinh A đếm số 1 đầu tiên.

...................................Hết............................... Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Trang 01/01

ĐỀ THI SỐ 1 (Đề thi có 01 trang)

Trang 1/4

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: …...4/2017

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Đáp án Thang

điểm

Câu 1 (2 điểm)

Cho hàm số 3 2 3 4 y x x mx = + − − (m là tham số). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ;0 −∞

Ta có 2 ' 3 6 y x x m = + −

0.5 Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ;0 −∞ khi chỉ khi ( ) ' 0, ;0 y x ≥ ∀∈−∞ ( ) 2 3 6 0, ;0 x x m x ⇔ + − ≥ ∀∈−∞ ( ) ( ) 2 3 6 , ;0 m f x x x x ⇔ ≤ = + ∀∈−∞ 0.5

( ) ( ) ( ) ;0 min , ;0 x m f x x ∈−∞ ⇔ ≤ ∀∈−∞

0.5 Ta có ( ) ( ) ' 6 6, 0 1 f x x f x x = + = ⇔ = −

Lập BBT, từ đó suy ra

( ) ( ) ( ) ;0 min 1 3 x f x f ∈−∞ = − = −

Vậy: 3 m ≤−

0.5

Câu 2 (4 điểm)

Giải phương trình ( ) 3 2 3 4 3 2 1 3 x x x x − + + = + + − ĐK: 3 x ≥

( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 4 4 3 2 1 3 3 1 x x x x ⇔ − + + − = + − + − −

0.5

( ) ( ) ( ) 3 4 6 4 4 3 4 3 4 4 2 1 3 3 1

x x x x x x x

− − − ⇔ − + = + + + + + − +

0,5

( ) 3 6 1 4 3 0 3 4 4 2 1 3 3 1 x x x x

      ⇔ − + − + =       + + + + − +      

0.5

4

3 6 1 3 0 3 4 4 2 1 3 3 1

x

x x x

=   ⇔     + − + =      + + + + − +     

0.5

Ta có:

3 3 3, 3 3 4 4 + > ∀≥ + + x x

0.5

6 1 6 1 3, 3 3 1 2 1 3 3 1 + < + = ∀≥ + + − + x x x

0.5

3 6 1 3 0, 3 3 4 4 2 1 3 3 1     ⇒ + − + > ∀≥     + + + + − +     x x x x

0.5

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 4 x = . 0.5

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI SỐ 1 (Gồm có 04 trang)