Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2016 - 2017 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2.0 điểm).

a) Cho hàm số 2 2 1 x y x − = + có đồ thị là ( ) H . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( ) H

và M là một điểm bất kì trên ( ) H . Tiếp tuyến với ( ) H tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của( ) H lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng tam giác IEF có diện tích không đổi.

b) Cho hàm số

3 2 2 1 3 x y x x = − + + có đồ thị là ( ) C . Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị ( ) C ,

hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Câu 2 (2.0 điểm). a) Cho 5 6 log 6 ,log 12 . a b = = Tính 25 log 24 theo a và .b

b) Cho hàm số 4 4 2

x

x f ( x ) = ⋅ + Tính tổng: 1 2 2016 2017 2017 2017 S f f f       = + + ⋅⋅⋅+ ⋅            

Câu 3 (2.0 điểm).

a) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng 4( ). AB km = Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7( ) BC km . = Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6( ) km h rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc 10( ) km h (hình vẽ bên). Xác định vị trí của M để người đó đến C nhanh nhất. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm dương phân biệt 3 2 2 3( 1) 3(2 1) 2 9 5 0 x m x m x m m − + + + + − − =

Câu 4 (2.0 điểm). Cho tứ diện ABCD có    0 60 8( ) 9( ) BAC CAD DAB ,AB cm ,AC cm , = = = = = 10( ). AD cm = Gọi 1 1 1 1 A ,B ,C ,D lần lượt là trọng tâm của các tam giác , , , . BCD ACD ABD ABC a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ) ACD . b) Tính thể tích khối tứ diện 1 1 1 1 A B C D . Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , 8, B AB = 6. BC = Biết 6 SA = và SA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC . Tìm bán kính mặt cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp .S ABC . Câu 6 (1.0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 1 abc = . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

3 3 3

2 2 2 1 1 1 a b c P a a b b c c = + + ⋅ + + + + + +

------------------- Hết -------------------

Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………………….; Số báo danh:………………

C 7 km

A

B M