Bài tập mệnh đề toán học và tập hợp Toán 10 Cánh Diều

Trang 1

PHẦN A. LÝ THUYẾT

I. Mệnh đề toán học Ví dụ 1. Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề toán học? a) Hà Nội là Thủ đô của Việt Nam; b) Số π là một số hữu tỉ; c) 1 x = có phải là nghiệm của phương trình 2 1 0 x −= không? Giải Câu a) không phải là một mệnh đề toán học. Câu b) là một mệnh đề toán học. Câu c) là một câu hỏi nên không phải là một mệnh đề toán học. Mỗi mệnh đề toán học phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề toán học không thể vừa đúng, vừa sai. Khi mệnh đề toán học là đúng, ta gọi mệnh đề đó là một mệnh đề đúng. Khi mệnh đề toán học là sai, ta gọi mệnh đề đó là một mệnh đề sai. Ví dụ 2. Tìm mệnh đề đúng trong những mệnh đề sau: A: "Tam giác có ba cạnh"; B: "1 là số nguyên tố". Giải Mệnh đề A là mệnh đề đúng; mệnh đề B là mệnh đề sai vì 1 không là số nguyên tố.

II. Mệnh đề chứa biến Câu “ n chia hết cho 3” là một mệnh đề chứa biến Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là ( ) P n ; mệnh đề chứa biến ,x y là ( ) , P x y ;…

Ví dụ 3. Trong những câu sau, câu nào là mệnh đề chứa biến? a) 18 chia hết cho 9 ; b) 3n chia hết cho 9 . Giải a) Câu " 18 chia hết cho 9 " là một mệnh đề nhưng không phải là mệnh đề chứa biến. b) Câu "3n chia hết cho 9" là một mệnh đề chứa biến, kí hiệu là ( ) P n :"3n chia hết cho 9"

III. Phủ định của một mệnh đề

Cho mệnh đề . P Mệnh đề “ không phải P ” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là P . Mệnh đề P đúng khi P sai. Mệnh đề P sai khi P đúng. Ví dụ 4. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó: A: "16 là bình phương của một số nguyên"; B: "Số 25 không chia hết cho 5". Giải Mệnh đề A :"16 không phải là bình phương của một số nguyên" và A sai. Mệnh đề B :" Số 25 chia hết cho 5" và B đúng. Chú ý: Để phủ định một mệnh đề (có dạng phát biểu như trên), ta chỉ cần thêm (hoặc bớt) từ "không" (hoặc "không phải") vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

IV. Mệnh đề kéo theo Cho hai mệnh đề P và Q . Mệnh đề "Nếu P thì Q " được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P Q ⇒ . Mệnh đề P Q ⇒ sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Nhận xét: Tuỳ theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề P Q ⇒ là " P kéo theo Q " hay " P suy ra Q " hay "Vì P nên Q " Ví dụ 5. Cho tam giác ABC . Xét hai mệnh đề:

Bài 1. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

P :"Tam giác ABC có hai góc bằng 60° "; Q :"Tam giác ABC đều". Hãy phát biểu mệnh đề P Q ⇒ và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó. Giải

: P Q ⇒ "Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60° thì tam giác ABC đều". Mệnh đề trên là đúng. Nhận xét: Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường phát biểu ở dạng mệnh đề kéo theo

P Q ⇒ . Khi đó ta nói

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hay P là điều kiện đủ để có Q , hoặc Q là điều kiện cần để có P .

V. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương - Mệnh đề Q P ⇒ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P Q ⇒ . - Nếu cả hai mệnh đề P Q ⇒ và Q P ⇒ đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu P Q ⇔ . Nhận xét: Mệnh đề P Q ⇔ có thể phát biểu ở những dạng như sau: - " P tương đương Q "; - " P là điều kiện cần và đủ để có Q "; - " P khi và chỉ khi Q "; - " P nếu và chỉ nếu Q ". Ví dụ 6. Cho tam giác ABC . Xét mệnh đề dạng P Q ⇒ như sau: "Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tam giác ABC có 2 2 2 AB AC BC + = ". Phát biểu mệnh đề Q P ⇒ và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề P Q ⇒ và Q P ⇒ . Giải Mệnh đề : P "Tam giác ABC vuông tại A " Mệnh đề Q :"Tam giác ABC có 2 2 2 AB AC BC + = ". Theo định lí Pythagore, hai mệnh đề P Q ⇒ và Q P ⇒ đều đúng. Do đó, hai mệnh đề P và Q là tương đương và có thể phát biểu như sau: "Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi tam giác ABC có

2 2 2 AB AC BC + = ". Chú ý: Trong toán học, những câu khẳng định đúng phát biểu ở dạng " P Q ⇔ " cũng được coi là một mệnh đề toán học, gọi là mệnh đề tương đương.

VI. Kí hiệu ∀, ∃ Ví dụ 7. Sử dụng kí hiệu "∀" để viết mỗi mệnh đề sau và xét xem mệnh đề đó là đúng hay sai, giải thích vì sao. a) P :"Với mọi số thực 2 , 1 0 x x + > ". b) …