Chuyên đề mệnh đề toán học và tập hợp Toán 10 Cánh Diều

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

Page 1

BÀI 1: MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.

Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

II. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

Xét câu “n chia hết cho 3” (với n là số tự nhiên).

Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này, do đó nó chưa phải là một mệnh đề.

Tuy nhiên, nếu thay n bằng số tự nhiên cụ thể thì câu này cho ta một mệnh đề. Chẳng hạn:

• Với 21 n = ta được mệnh đề “21 chia hết cho 3”. Đây là mệnh đề đúng.

• Với 10 n = ta được mệnh đề “10 chia hết cho 3”. Đây là mệnh đề sai.

Ta nói rằng câu “n chia hết cho 3” là một mệnh đề chứa biến.

III. PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ

Cho mệnh đề P . Mệnh đề “Không phải P ” được gọi là mệnh phủ định của mệnh đề P và kí

hiệu là P . Khi đó, ta có

• P đúng khi P sai.

• P sai khi P đúng.

IV. MỆNH ĐỀ KÉO THEO

Mệnh đề ''Nếu P thì Q '' được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là . P Q ⇒

Mệnh đề P Q ⇒ còn được phát biểu là '' P kéo theo Q '' hoặc '' Từ P suy ra Q ''.

Mệnh đề P Q ⇒ chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Như vậy, ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P Q ⇒ khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì

P Q ⇒ đúng, nếu Q sai thì P Q ⇒ sai.

Các định lí, toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng . P Q ⇒

Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc

Q là điều kiện cần để có . P

CHƯƠNG

I

MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

TẬP HỢP

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ I – CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

Page 2

V. MỆNH ĐỀ ĐẢO – HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

Mệnh đề Q P ⇒ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề . P Q ⇒

Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Nếu cả hai mệnh đề P Q ⇒ và Q P ⇒ đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.

Khi đó ta có kí hiệu P Q ⇔ và đọc là P tương đương , Q hoặc P là điều kiện cần và đủ để

có , Q hoặc P khi và chỉ khi . Q

VI. KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃

Ví dụ: Câu ''Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0'' là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau

2 : 0 x x ∀∈ ≥  hay 2 0, . x x ≥ ∀∈

Kí hiệu ∀ đọc là ''với mọi''.

Ví dụ: Câu ''Có một số nguyên nhỏ hơn 0'' là một mệnh đề.

Có thể viết mệnh đề này như sau

: 0. n n ∃∈ < 

Kí hiệu ∃ đọc là ''có một'' (tồn tại một) hay''có ít nhất một''(tồn tại ít nhất một).

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề " , ( )" x X P x ∀∈ là " , ( )". x X P x ∃∈

Ví dụ: Cho mệnh đề 2 “ , 7 0” x x x ∀∈ − + <  . Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề trên?

Lời giải

Phủ định của mệnh đề 2 “ , 7 0” x x x ∀∈ − + <  là mệnh đề 2 “ , 7 0” x x x ∃∈ − + ≥  .

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề " , ( )" x X P x ∃∈ là " , ( )". x X P x ∀∈

Ví dụ: Cho mệnh đề 2 “ , 6 0” x x x ∃∈ − − =  . Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề trên?

Lời giải

Phủ định của mệnh đề 2 “ , 6 0” x x x ∃∈ − − =  là mệnh đề 2 “ , 6 0” x x x ∀∈ − − ≠  .

Câu 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?

a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.

b) Mọi số tự nhiên đều là dương.

c) Có sự sống ngoài Trái Đất

d) Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động.

Câu 2: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.