Phân dạng và bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trang 1/13

CHUYÊN ĐỀ 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó.

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng:

0, 0, 0, 0 ax by c ax by c ax by c ax by c + + < + + > + + ≤ + + ≥ trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.

Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình 0 ax by c + + < ,

Nghiệm của các bất phương trình dạng , , ax by c ax by c ax by c + > + ≤ + ≥ cũng được định nghĩa tương tự.

• Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình.

b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng ( ) : 0 d ax by c + + = chia mặt phẳng thành hai nửa mặt

phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình 0 ax by c + + > , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình 0 ax by c + + < .

Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình 0 ax by c + + < , ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng (d): 0 ax by c + + =

Bước 2. Xét một điểm ( ) 0 0 ; M x y không nằm trên (d).

• Nếu 0 0 0 ax by c + + < thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình 0 ax by c + + < .

• Nếu 0 0 0 ax by c + > + thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình 0 ax by c + + > .

Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng 0 ax by c + + ≤ hoặc 0 ax by c + + ≥ thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ. B. VÍ DỤ MINH HỌA

I-BÀI TẬP TỰ LUẬN

Ví dụ 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 2 2 3 0. x y + > b)

2 2 3 0. x y + ≤ c) 2 3 0. x y + >

d)

2 2 2 3 2 0. x y x y − + − < e) 3 1. y < f) 2 1. x y − ≤

g) 0. x ≤ h) 0. y > i) ( ) ( ) 4 1 5 3 2 9 x y x − + − > −

Trang 2/13

Lời giải

Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là

c) 2 3 0. x y + > e) 3 1. y < f) 2 1. x y − ≤ g) 0. x ≤

h) 0. y > i) ( ) ( ) 4 1 5 3 2 9 x y x − + − > −

Ví dụ 2: Cho bất phương trình − − < 2 3 1 0. x y

Cặp số nào cho dưới đây là nghiệm của bất phương trình đã cho

a) ( ) −7;1 . b) ( ) − 0; 2 .

Lời giải

a) Ta có − − − = − < 2( 7) 3.1 1 18 0. Vậy ( ) −7;1 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Ta có − − − = > 2.0 3.( 2) 1 5 0.. Vậy ( ) − 0; 2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Ví dụ 3: Tìm miền nghiệm của bất phương trình

a) 3 2 6 0 x y + − > b) 3 2 6 0 x y + + ≥

Lời giải

a) –Vẽ đường thẳng :3 2 6 0 d x y + − = .

-Lấy điểm (0;0) O không nằm trên . d

Ta có: 3.0 2.0 6 6 0. + − = −< Do đó điểm O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình 3 2 6 0 x y + − > là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ O có

bờ là đường thẳng d ( không kể bờ d ) ( miền không bị gạch bỏ trên hình vẽ)

b) –Vẽ đường thẳng :3 2 6 0 d x y + + = .

-Lấy điểm (0;0) O không nằm trên . d

Ta có: 3.0 2.0 6 6 0. + + = > Do đó điểm O thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.