Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 10 Cánh Diều

Trang 1

PHẦN A. LÝ THUYẾT

I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn Bất phương trình bậc nhất hai ẩn ,x y là bất phương trình có một trong các dạng sau:

; ; ; , ax by c ax by c ax by c ax by c         trong đó , , a b c là những số cho trước với ,a b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn (*) ax by c   .

Mỗi cặp số   0 0 ; x y sao cho 0 0 ax by c   được gọi là một nghiệm của bất phương trình (*).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình (*) được gọi là miển nghiệm của bất phương trình đó. Nghiệm và miền nghiệm của các bất phương trình dạng , ax by c ax by c     và ax by c   được định nghĩa tương tự. Ví dụ 1. Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 3 2 5 x y   ? a) (2; 1)  ; b) ( 2;0)  ; c) ( 1; 1)   . Giải a) Thay 2, 1 x y  , ta có: 3 2 2 ( 1) 5    là mệnh đề đúng. Vậy (2; 1)  là nghiệm của bất phương trình. b) Thay 2, 0 x y   , ta có: 3 ( 2) 2.0 5    là mệnh đề sai. Vậy ( 2;0)  không là nghiệm của bất phương trình. c) Thay 1, 1 x y  , ta có: 3 . ( 1) 2.( 1) 5     là mệnh đề đúng. Vậy ( 1; 1)   là nghiệm của bất phương trình.

II. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Mô tả miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Người ta chứng minh được định lí sau: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , phương trình ax by c   (với a và b không đồng thời bằng 0 ) xác định một đường thẳng d như sau:

- d có phương trình là c x a  nếu 0 b  ;

- d có phương trình là a c y x b b   nếu 0 b  .

Ngoài ra, người ta cũng chứng minh được định lí sau: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , đường thẳng : d ax by c   chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình ax by c   , nửa mặt phẳng còn lại (không kể d ) là miền nghiệm của bất phương trình ax by c   . Chú ý: Đối vối bất phương trình dạng ax by c   hoặc ax by c   thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả đường thẳng d . Ví dụ 2. Nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình dưới (không kể d) biểu diễn miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hỏi tọa độ hai điểm ( 1;1) M  , (4; 2) N  có là nghiệm của bất phương trình đó không?

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Giải - Điểm ( 1;1) M  thuộc nửa mặt phẳng không bị gạch nên ( 1;1)  là nghiệm của bất phương trình đó. - Điểm (4; 2) N  thuộc nửa mặt phẳng bị gạch nên (4; 2)  không là nghiệm của bất phương trình đó.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Quy tắc thực hành biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn như sau: Các bước biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ax by c   trong mặt phẳng toạ độ Oxy : Bước 1. Vẽ đường thẳng : d ax by c   . Đường thẳng d chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng

Bước 2. Lấy một điểm   0 0 ; M x y không nằm trên d (ta thường lấy gốc toạ độ O nếu 0 c  ). Tính

0 0 ax by  và so sánh với c Bước 3. Kết luận - Nếu 0 0 ax by c   thì nửa mặt phẳng (không kể d ) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax by c  

- Nếu 0 0 ax by c   thì nửa mặt phẳng (không kể  d không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương

trình ax by c   . Ví dụ 3. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau: 1; 1 x y x y    . Giải - Vẽ đường thẳng : 1 d x y  .

- Lấy điểm (0;0) O . Ta có: 0 0 0 1   . - Vậy miền nghiệm của bất phương trình 1 x y   là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chửa điểm (0;0) O không kể đường thẳng d ; miền nghiệm của bất phương trình 1 x y   là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm (0;0) O kể cả đường thẳng d . Chú ý: Thông thường khi sử dụng phần mềm toán học để biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn, miền nghiệm của bất phương trình đó được tô màu. Chẳng hạn, miền nghiệm của bất phương trình 1 x y   được tô màu như hình sau