Chuyên đề vận dụng cao phương trình và hệ phương trình chứa căn

Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC 1

VẤN ĐỀ 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG THAM SỐ

Các phương pháp được dùng đến gồm:

 Phương pháp thế

 Phương pháp đặt ẩn phụ

 Phương pháp ép tích

 Phương pháp đánh giá

Email: smallduck01@gmail.com

Email: vanphu.mc@gmail.com

Câu 1. Biết hệ phương trình:

3 4 5 4 4

5 3 7 2 2 1 4

 − + + + + =  + − − = −− 

y x y x

y x x y

với , ∈ x y có hai nghiệm

( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; x y x y . Tính 1 2 3 4 S x y = + .

A. 27 32 . B.13 4 . C. 27 6 17 32 + . D. 33 6 17 32 + .

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Bích,Tên FB: Bich Nguyen

Chọn B

Điều kiện xác định :

3 4 0

5 4 0

2 7 3 5

y x

y x

x

y

− + ≥  + + ≥   ≥   ≥− 

Ta có: 3 4 5 4 − + − + + y x y x 3 4 5 4 8 2 4 3 4 5 4 − + − − − − = = = − − + + + + y x y x x x y x y x

thu được hệ

3 4 5 4 4 2 3 4 4 2 3 4 5 4 2

 − + + + + =  ⇒ − + = −  − + − + + = − 

y x y x y x x y x y x x

2 2 ≤  ⇔ = − 

x

y x x .

Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC 2

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

2 2 5 5 3 7 2 4 6 1 0 − + − − + − + = x x x x x (điều kiện 2 2 7 ≤ ≤ x )

( )

( )

2 2

2

2

5 5 3 ( 1) (2 7 2) 4 7 2 0

1 1 4 7 2 1 0 2 7 2 5 5 3 ( 1)

⇔ − + − + + − − + − + =

  ⇔ − + + + =     + − − + + +  

x x x x x x x

Do 2 2 7 ≤ ≤ x nên

2 1 1 1 0 2 7 2 5 5 3 ( 1) + + > + − − + + + x x x x x

Suy ra 2 7 17 4 7 2 0 8 ± − + = ⇔ = x x x (TM) .

Với 7 17 5 3 17 8 32 x y + + = ⇒ = (TM).

Với 7 17 5 3 17 8 32 x y − − = ⇒ = (TM).

Hệ phương trình có hai nghiệm 7 17 5 3 17 ; 8 32

  + +      

và 7 17 5 3 17 ; 8 32

  − −      

.

Vậy 1 2 13 3 4 4 S x y = + = .

Câu 2. Hệ phương trình

3 3 2 2

2 3 6 16 7 11

( 2) 4 ( 9) 2 9 9 1 0

y x x y y x

y x x y x x y

 − + = − + +  + + + + − + + + + = 

có bao nhiêu nghiệm thực?

A.1. B.2. C.3. D. 4 .

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Văn Phu,Tên FB: Nguyễn Văn Phu

Chọn A

ĐK 4 (*) 2 9 0

x

y x

≥−   − + ≥ 

Cách 1 ( Lớp 10) PT thứ nhất tương đương với 3 3 ( 2) 4( 2) ( 1) 4( 1) y y x x − + − = − + − (1)

2 2

0 ( 1)[( 2) ( 2)( 1) ( 1) 4] 0 1 y x y y x x y x

≥ ⇔ − − − + − − + − + = ⇔ = + 

Cách 2 ( Lớp 12) Xét hàm số 3 2 ( ) 4 '( ) 3 4 0, f t t t f t t t = + ⇒ = + > ∀∈

Suy ra hàm số ( ) f t đồng biến trên . PT (1) có dạng

Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC 3

( 2) ( 1) 2 1 1 f y f x y x y x − = − ⇔ − = −⇔ = +

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

2 ( 3) 4 ( 9) 11 9 10 0 x x x x x x + + + + + + + + =

2 ( 3)( 4 3) ( 9)( 11 4) 2 35 0 x x x x x x ⇔ + + − + + + − + + − =

3 9 ( 5)[ ( 7)] 0 4 3 11 4

x x x x x x

+ + ⇔ − + + + = + + + + 

0, 4

3 9 ( 5)[( 1) ( 6)] 0 5 4 3 11 4

x

x x x x x x x

> ∀≥−

+ + ⇔ − + + + + = ⇔ = + + + + 

Với 5 6 x y = ⇒ = . (t/m đk (*). Vậy HPT có 1 cặp nghiệm 0 0 ( ; ) (5;6) x y =

Email: lyvanxuan@gmail.com

Câu 3. Số giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình 1 1

2 1

x y m

x y m

 + + + = + = + 

có nghiệm là :

A.4 . B.3 . C. 2 . D.1.

Lời giải

Tác giả:Mai Ngọc Thi,Tên FB: Mai Ngọc Thi

Chọn B

Điều kiện : 1 x ≥−; 1 y ≥−.

Đặt 1

1

u x

v y

= + = + 

, , 0 u v ≥ khi đó ta có hệ phương trình

2 2 2 2 1

u v m

u v m

+ =   + − = +  ( ) 2 2 2 3

u v m

u v uv m

+ =  ⇔ + − = + 

2 2 3 2

u v m

m m uv

+ =  ⇔ − − = 

Đặt S u v

P uv

= +   = 

, 2 4 S P ≥ khi đó ta có hệ 2 2 3 2

S m

m m P

=  − − = 