Phương pháp U V T W phân tích nhân tử phương trình vô tỷ - Bùi Thế Việt

PHƯƠNG PHÁP U, V, T, W

PHÂN TÍCH NHÂN TỬPHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

(Bùi ThếViệt - Chuyên gia ThủThuật CASIO)

A. Giới thiệu

Tôi (Bùi ThếViệt) tham gia diễn đàn từhồi lớp 8. Khi đó, tôi vô cùng thắc mắc vì sao các anh

chịgiải đềthi đại học lại có thểgiải quyết những bài toán vềPTVT, BPT, HPT, ... một cách nhanh gọn

như đặt ẩn phụhợp lý, nhóm nhân tử, lấy PT(1) + kPT(2), ... Từđó, tôi tựmày mò nghiên cứu và đã có

nhiều phương pháp, thủthuật CASIO hỗtrợquá trình giải toán. Ví dụnhư lớp 9 tôi đăng lên diễn đàn

thủthuật giải phương trình bậc 4, rút gọn biểu thức, chia biểu thức, ... nhanh chóng bằng CASIO; lớp

10 đăng thủthuật phân tích nhân tử, chia biểu thức chứa căn, S.O.S chứng minh phương trình bậc 4 vô

nghiệm, giải BĐT bằng CASIO, ...

Cũng nhờmột thời chém mưa chém gió trên diễn đàn, tôi đã trưởng thành hơn nhiều, và trong kỳ

thi THPT Quốc Gia 2015, tôi đã được trọn vẹn 10 điểm môn toán (82/900.000 người được điểm 10). Giờ

tôi đã là sinh viên năm nhất, và cũng là giáo viên trung tâm luyện thi Vted.vn của anh Đặng Thành Nam.

Vậy mà đến tận bây giờ, tôi mới quay trởlại diễn đàn. Muốn làm một gì đó mơi mới, tôi muốn giới thiệu

cho bạn đọc phương pháp U, V, T, W đểgiải phương trình vô tỷdạng một căn và nhiều căn thức ...

B. Ý tưởng

Bạn đọc đã bao giờthắc mắc làm thếnào mà có thểphân tích được nhân tửthành như sau :

a)x3 + 3x + 2 −x2√

2x2 −x −1 = x + 1 − √

2x2 −x −1 √

2x2 −x −1 + x2 + x + 1

b) 6x −1 −(4x −1) √

1 −x −2 (x + 1) √

x + 1 = √

1 −x −2 √

x + 1 −1 √

1 −x + √

x + 1 −1 2

Đối với một sốngười tư duy tốt, họsẽhỳhục ngồi nháp, tách đủkiểu đểsao có nhân tửchung rồi

đi nhóm nhân liên hợp. Tuy nhiên, với những người lười tư duy như tôi hoặc như một phần không nhỏ

các bạn khác, chúng ta cần một công cụhỗtrợviệc phân tích nhân tửnhư trên. Đó là chiếc máy tính

CASIO hoặc VINACAL mà chắc hẳn bạn đọc nào cũng có.

Đểlàm được điều như trên, tôi chia bài toán thành 3 giai đoạn :

Bước 1: Tìm nhân tử

Bước 2: Chia biểu thức

Bước 3: Tiếp tục tìm nhân tử(nếu còn) hoặc đánh giá vô nghiệm.

Cụthểchi tiết từng phần, tôi sẽtrình bày ởdưới.

Tuy nhiên U, V, T, W mà là gì ? U, V, T, W không hẳn là một phương pháp, mà đây là một công

thức đểthực hiện bước 2 - chia biểu thức. Đây cũng chính là mấu chốt cho việc phân tích thành nhân tử

bằng CASIO.

C. Yêu cầu

Đối với một sốbạn đọc chưa biết nhiều vềCASIO, vui lòng xem qua bài viết này hoặc xem video

này hoặc tài liệu PDF chi tiết hơn ởđây. Cụthể, thứchúng ta cần bao gồm :

1

• Rút gọn biểu thức bằng CASIO

• Tìm các nghiệm bằng CASIO

• Kỹnăng sửdụng CASIO như CALC, STO, ENG, ...

• Làm việc với sốphức trong Mode 2 CMPLX

D. Thực hiện

Chúng ta sẽlần lượt đi qua từng giai đoạn của Ý Tưởng trên :

Phần 1: Tìm nhân tử:

Làm thếnào đểtìm được nhân tử? Làm sao đểbiết x3 + 3 x + 2 −x2√

2 x2 −x −1 có nhân tử x + 1 − √

2 x2 −x −1 ???

Phương pháp tìm nhân tửđơn giản như sau :

Nếu nhân tửcó nghiệm x = x0 thì phương trình ban đầu cũng có nghiệm x = x0 Vậy thì nếu chúng

ta biết phương trình ban đầu có nghiệm x = x0 thì sẽtìm được nhân tửchứa nghiệm x = x0 ấy.

Ví dụ: Phương trình x3 + 3 x + 2 = x2√

2 x2 −x −1 có nghiệm x = 3 + √

17 2

Khi đó √

2 x2 −x −1 =

s

21 + 5 √

17 2 = 5 + √

17 2 = x + 1 suy ra nhân tửlà √

2 x2 −x −1 −x −1

Vấn đềcần được giải quyết ởđây gồm :

• Làm thếnào đểtìm được nghiệm lẻnhư x = 3 + √

17 2

• Làm thếnào biến đổi nhanh chóng

s

21 + 5 √

17 2 = 5 + √

17 2

• Làm thếnào đểtìm được nhân tửkhi biết nghiệm hữu tỷ?

Nhờquá trình mày mò, nghiên cứu dựa theo ý tưởng trên, tôi đã xây dựng được thủthuật tìm nhân tử

cho phương trình vô tỷnhư sau :

• Một căn thức f(x) + g(x) p

h(x) = 0

• Nhiều căn thức U p

p(x) + V p

q(x) + T p

p(x)q(x) + W = 0

Bước 1: Viết biểu thức. Ấn Shift + SOLVE, tìm các nghiệm (nếu có) và lưu vào A, B, C, ...

Bước 2: Xét các trường hợp nghiệm

TH1: Phương trình có ít nhất 2 nghiệm vô tỷk1, k2 sao cho

 

 k1 + k2 ∈Q

k1k2 ∈Q hoặc ít nhất 2 nghiệm hữu tỷ

k1, k2 ∈Q

Khi đó nhân tửsẽlà : p

h(x) + ax + b với

  …