Tuyển chọn một số bài toán PT - BPT - HPT hay - Lương Anh Nhật

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Kiến thức cần nhớ:

1. a b a b a b     

4.

2

0

0

b

b a b

a b

          

2. 2 0 b a b a b

    

5. 2 0 b a b a b

    

3.   0 0 a b a b a b

     

Ví dụ 1: Giải phương trình: 1 2 1 x x x    .

HD: biến đổi sao cho hai vế không âm rồi bình phương đưa về dạng cơ bản.

Ví dũ 2: Giải phương trình: 2 2 2 4 4 3 4 2 x x x x x x x        .

HD: biến đổi hai vế, đặt 2 4 t x x    đưa vềdạng đẳng cấp.

Ví dụ 3: Giải phương trình:

2 1 1 2 2 1 x x   

.

HD: Đặt sin x   , lượng giác hóa phương trình.

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 3 2 2 1 27 27 13 2 x x x x     .

HD: Dùng đơn điệu.

Ví dụ 5: Giải phương trình:  

2 2 3 2 1 3 x x x x     .

HD: Dùng lượng liên hiệp.

Ví dụ 6: Giải phương trình:

2 2 4 20 4 29 97 x x x x       .

HD: Dạng này hiếm gặp, xét hai vecto có tọa độ thích hợp rồi đưa về độ dài.

Ví dụ 7: Giải phương trình:

2 3 3 1 3 2 0 x x x x      .

HD: Biến đổi về dạng đẳng cấp, chú ý dấu. (Làm nhiễu thôi!)

Ví dụ 8: Giải bất phương trình:  2 2 3 2 3 2 0 x x x x     .

HD: Dạng cơ bản.

Ví dụ 9: Giải bất phương trình:

3 2 0 4

x x

x

   

.

HD: Chia khoảng theo điều kiện và giải bình thường.

Ví dụ 10: (A-2004) Giải bất phương trình:   2 2 16 7 3 3 3

x x x x x

      

.

Ví dụ 11: Giải bất phương trình: 2 2 2 8 15 2 15 4 18 18 x x x x x x         .

HD: Chia trường hợp theo điều kiện xác định.

Lưu ý: Thường thường câu 9 điểm trong đề thi PTTH Quốc gia là câu giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình. Theo ý kiến cá nhân của tôi thì phương trình là nền tảng cho các dạng còn lại, bất phương trình kế thừa phương trình nhưng mang màu sắc của xét dấu là chủ yếu còn lại là các phép biến đổi. Hệ phương trình là dung hòa của hai (nhiều) phương trình. Nói chung cái khó của các bài toán này nằm ở kinh nghiệm giải của các bạn và do ý đồ kết hợp các phương pháp của tác giả! Các ví dụ trên đây là các dạng thường gặp của “bài toán 9 điểm” trong bài thi PTTH Quốc gia. Cùng xem một số câu tham khảo nhé!

Bài 1. Giải phương trình:     2 2 7 1 13 2 2 1 x x x x x x x        .

Hướng dẫn

Điều kiện: 13 3 17 1 4 x    .

Phương trình đã cho tương trương với:  1 2 1 7 1 13 2 1 x x x x x x

              

Đặt 2 1 1 2 t x t x x x       , từ(1) suy ra t > 0 .

Phương trình (1) trở thành:

     

 

 

 

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

7 2 1 13 2 2

5 9 2 1 2 5

8 2 5 5 20

9 2 1 2 5

2 5 4 0 9 2 1 2 5

t t t

t t t t

t t t

t t t

t t t t

     

     

        

             

Vì

2 2 2 5 0 9 2 1 2 5 t t t      

và t > 0 nên t = 2.

Suy ra: 1 2 2 1 0 1 2 3 2 2 x x x x x x           .

So sánh với điều kiện đề bài, kết luận: 3 2 2 x  .

Nhận xét: Bài toán này rất hay ở chỗ chia hai vế cho x mới có thể đưa về dạng quen thuộc là kết hợp giữa ẩn phụ và liên hiệp, có dính dáng đến một chút của phương pháp đánh giá biểu thức nhưng không quá khó. Tiếp tục với một bài nữa về phương trình cũng rất hay liên quan đến tính đơn điệu.

Bài 2. (PTTH Quốc gia 2015) Giải phương trình:   

2

2 2 8 1 2 2 2 3 x x x x x x        

.

Hướng dẫn

Điều kiện: 2 x .

Phương trình tương đương với:

    

   

 



2

2

2

2 4 2 1 . 2 3 2 2

4 1 2 0 2 2 1 2

2 4 1 0 * 2 2 1 2

x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

        

                               

Nhìn kỹ phương trình (*) ta thấy một nét đẹp như phép biến đổi sau:

   

         

2

2 2

2 2 1 2 2 1 2

2 2 2 2 1 2 1 2 **

x x x x

x x x x

       

                       

Xét hàm số:        2 2 2 2 , 0 ' 2 . 2 2 0, 0 f t t t t f t t t t f t t            

      2 2 1 1 3 13 ** 2 1 2 1 2 2 2 1 3 1 0

x x f x f x x x x x x x x x

                  …