Kĩ thuật đặt ẩn phụ giải phương trình và bất phương trình chứa căn - Nguyễn Tiến Chinh

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

1

1. KỸ THUẬT ĐẶT MỘT ẨN PHỤ 2. KỸ THUẬT ĐẶT HAI ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐẲNG CẤP 3. ĐẶT HAI ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PT ĐỐI XỨNG 4. ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN 5. 46 VÍ DỤ PHÂN TÍCH CHI TIẾT TỪ DỄ ĐẾN KHÓ

TÀI LIỆU SẮP PHÁT HÀNH - TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC NHIỀU CÁCH GIẢI - MỜI CÁC EM ĐÓN

CÔNG PHÁ MÔN TOÁN THPT

NGUYỄN TIẾN CHINH

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

2

II- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐẶT ẨN SỐ PHỤ



KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Đặt một ẩn phụ

Tìm mối liên hệ giữa các biến để đặt ẩn phụ thích hợp. Một số dạng cơ bản thường gặp:

    PP

2 t f x , t 0 a.f x b f x c 0

at bt c 0

          

Xin nhắc lại,hầu hết các đề bài sẽ không cho ngay mối quan hệ để nhìn thấy cách đặt ẩn phụ ngay do đó ta cần biết phán đoán hướng đi của bài toán dựa trên cơ sở phân tích hợp lý

CÁC VÍ DỤ ĐẶT MỘT ẨN PHỤ

BT Mẫu 1 :Giải Phương trình 2 2 1 3 1 0 x x x    (*)

ĐK: 1 2 x 

Đặt t =

2 1 2 1; 0 2 t x t x      (1) thay vào phương trình (*) ta có:

2 2 2 4 2 1 1 3 1 0 4 4 1 0 2 2 t t t t t t                     

    2 1 1 1 4 1 0 1

2 5 2

t t t t t t

t

               

do t 0  nên t = 1, t = 2 5 2 

+) khi t = 1 thay vào (1) ta có x = 1

+) Khi t = 2 5 2  ta có x = 13 4 5 2 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 hoặc x = 13 4 5 2 

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

3

BT Mẫu 2 :Giải Phương trình 3 2 2 2 3 14 2 2 3 10 x x x x      (*)

Bài Giải : Đặt t = 3 2 2 3 2 3 10 2 3 10 x x x x t       thay vào phương trình (*) ta có

(*)    3 2 2 2 2 4 0 2 2 2 0

2 2 0( )

t t t t t t

t t VN

               

Với t = 2 ta có 2 3 3 17 2 3 18 0 4 x x x       (TM)

BT Mẫu 3 : Giải phương trình :    2 2 2 4 4 0 x x x x      



2 2 4 4 2 0 1 x x x x      đúng hướng !!!

Đặt t =

2 4, 0 x t x   thay vào pt ta có 2 2 0 t t   Vô nghiệm

Thấy rằng chỉ cần quan sát điểm bất thường của bài toán va bằng một động tác ta đã hóa giải pt rồi.

BT Mẫu 4 : Giải phương trình 2 1 2 3 1 4 3(*) x x x x     (Đề thi thử Sở GD Vĩnh Phúc)

Lời Giải

ĐK :

0

1 2 1

x

x

x

        

Để thuận tiện cho lời giải ta sẽ chia bài toán làm 2 trường hợp sau đây

TH1 : khi x > 0 chia cả hai vế cho x ta có pt :  2 2 3 1 1 3 2 4 1 x x x x     

Đặt 2 2 2 3 1 3 1 2 ( 0) 2 t t t x x x x        

thay vào (1) ta có 2 2 6 6 0 2( ) 3( ) t t t t t L t TM       

Nhận xét : Thoạt đầu khi nhìn thấy căn ta thường nghĩ ngay sẽ đặt t bằng căn đó,tuy nhiên bình tĩnh phân tích ta thấy rằng có điều gì đó bất ổn nếu ta đặt như vậy,vì việc thế theo t là hơi khó khăn một chút,ta sẽ hóa giải điều này bằng cách chia cả hai vế cho x xem sao ???

Lời giải :

ĐK : x 0

Xét thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình,ta chia cả hai vế cho x > 0 thì được pt mới như sau :

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN

4

Với t = 3 2 2 3 1 3 37 3 37 2 3 7 3 1 0 (tm) x ( ) 14 14 x x x L x x             

TH2 : Khi x < 0 chia hai vế cho x ta có :  2 2 3 1 1 3 2 4 2 x x x x      

Đặt 2 2 2 3 1 3 1 2 ( 0) 2 t t t x x x x        

thay vào (1) ta có 2 2 6 6 0 2(N) 3(L) t t t t t t       

Với t = 3 2 2 3 1 3 17 3 17 2 2 2 3 1 0 (L) x (N) 4 4 x x x x x             

Kết hợp Đk bài toán ta có hai nghiêm là : 3 37 3 17 14 4 x x     

BT Mẫu 5 : Giải phương trình :  14 2 5 11 2 x x x      (Chuyên Hùng Vương)

ĐK : 0 2 x  

Viết lại pt như sau :     14 7 2 2 5 7 2 2 5 2 2 x x x x x x x          

Vì x > 0 nên chia cả hai vế cho x ta được: 2 2. 5 7 2 x x x x

    Đặt t = 2 x

x  thay vào pt có :

2t + 5 > 7/t

2 2 5 7 7 0 0 1 2 t t t t t       

TH1 : Khi t > 1 2 1 2 0( 0) 4 x x x do x x x         

TH2 :

2 7 1 4 2 7 2 7 4 0 1 0 2 2 2 2 2 2 2 0

x x x x x x t x x x x x

              …