Tuyển chọn các bài toán phương trình vô tỉ - Trần Quốc Việt (Diễn đàn K2PI)

Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Lời Nói Đầu

Kỳthi THPT Quốc Gia năm 2015 đã vừa qua với nhiều thay đổi lớn trước ngưỡng của đổi mới Giáo Dục. Chúng ta cũng đã được thấy được sựthay đổi đột phá trong đềthi môn Toán nói riêng. Vềcấu trúc đềthi đã được phân loại gồm 60% phần dễđủcho học sinh thi tốt nghiệp và 40% phần khó và cực khó

nhằm phân loại mạnh học sinh đểxét tuyển vào các trường Đại học- Cao đẳng. Trong đó nhóm câu phương trình, hệphương trình không còn dừng lại ởmức độ dễkiếm điểm như đềthi những năm trước, mức độkhó của nhóm câu này nằm ở con điểm 9 nếu ta chinh phục được nó. Và nói riêng đềthi Toán 2015 thì là một

câu phương trình vô tỷchỉmới xuất hiện lại đây sau mấy năm trước đó đềthi đều ra hệphương trình nên xu hướng học sinh bây giờtheo học phương trình vô

tỷkhá nhiều. Và đối với những người đam mê Toán luôn muốn phát triển thì họ

chảbao giờngừng nghỉhọc cho dù là nó có liên quan đến thi cửhay không.

Vì vậy mà tiếp nối sựthành công của TOPIC Phương trình vô tỷ2014 của thầy

Phạm Kim Chung tại diễn đàn Toán -THPT K2pi.Net.Vn thì TOPIC Phương

trình vô tỷ2015 của anh Nguyễn Duy Hồng cũng rất thành công khi quét kỹ

hết các dạng toán thường gặp của phương trình vô tỷ,mởra được cái nhìn chuyên

sâu vềmọi bài toán giúp được một phần nào đó cho các thí sinh vượt qua được

kỳthi. Nay tôi tổng hợp các bài toán lại thành tài liệu tiếp tục phục vụviệc ôn

thi kỳthi THPT Quốc Gia 2016 tiếp theo. Mong đây sẽlà tài liệu bổích cho việc ôn thi của các bạn.

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vềthành viên Trần Quốc Việt tại diễn đàn Toán - THPT K2pi.Net.vn, qua gmail: tranquocvietkyphu@gmail.com hoặc facebook cá nhân của tôi https://www.facebook.com/leoricmta

Hà Tĩnh tháng 10 năm 2015

Người Tổng Hợp Trần Quốc Việt

c⃝ Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 2

Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Phần I. Tuyển Chọn Các Bài Toán

Giải phương trình sau

x p

1 + 4x2 + x + 1

2

p

x2 + 2x + 2 = x + 3

4

p

x2 + 6x + 13

Bài toán 1

Lời Giải

Cách 1. Phương trình đã cho tương đương với

2x p

1 + (2x)2 + (x + 1) p

1 + (x + 1)2 = (x + 3)

s

1 + x + 3

2

2 (∗)

Đểý rằng f(t) = t √

1 + t2 là hàm đồng biến trên R.

Với x ⩾1

Ta có

2x ⩾x + 3

2 ⇒2x p

1 + (2x)2 ⩾x + 3

2

s

1 + x + 3

2

2

Và

x + 1 ⩾x + 3

2 ⇒(x + 1) p

1 + (x + 1)2 ⩾x + 3

2

s

1 + x + 3

2

2

Từđó suy ra V T(∗) ⩾V P(∗), ∀x ⩾1

Với x < 1, tương tựta có V T(∗) < V P(∗) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

Cách 2. Đặt u = 2x, v = x + 1, w = x + 3

2 ta đưa phương trình về

u p

1 + u2 + v p

1 + v2 = 2w p

1 + w2

⇔u p

1 + u2 −w p

1 + w2 = w p

1 + w2 −v p

1 + v2

Do f(t) = t √

t2 + 1 là hàm tăng. GiảsửV T ≥0 thếthì V P ≥0 tức là  

 u ≥w

w ≥v ⇔

 

 3x ≥3

1 ≥x ⇔x = 1

c⃝ Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 3

Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Tương tựvới biện luận V T ≤0.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 □

Giải phương trình sau √

2x −1 + 3√

3x −2 = 2x

Bài toán 2

Lời Giải

Điều kiện x ⩾1

2 Cách 1. Khi đó phương trình đã cho tương đương với

x − √

2x −1 + x − 3√

3x −2 = 0

⇔ (x −1)2

x + √2x −1 + (x + 2) (x −1)2

x2 + x 3√3x −2 + 3q

(3x −2)2 = 0

⇔(x −1)2



 1 x + √2x −1 + x + 2

x2 + x 3√3x −2 + 3q

(3x −2)2



= 0

Do 1 x + √2x −1 + x + 2

x2 + x 3√3x −2 + 3q

(3x −2)2 > 0 ; ∀x ≥1

2

Nên phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Cách 2. Phương trình đã cho tương đương với

1 2 2x −1 −2 √

2x −1 + 1 + 1

3 3x −2 −3 3√

3x −2 + 2 = 0

⇔1

2 √

2x −1 −1 2 + 1

3 3√

3x −2 + 2 3√

3x −2 −1 2 = 0

⇔

(√2x −1 = 1

3√3x −2 = 1

⇔x = 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

□

c⃝ Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 4