Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ - Trịnh Hồng Uyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH HỒNG UYÊN

MỘT SỐPHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

LUẬN VĂN THẠC SỸTOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40

Người hướng dẫn khoa học:

GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Mởđầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 1. Phương pháp giải phương trình vô tỷ. . . . . . . . . . 5 1.1. Phương pháp hữu tỷhóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Phương pháp ứng dụng các tính chất của hàm số. . . . . . . . . . 24 1.3. Phương pháp đưa vềhệđối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4. Phương trình giải bằng phương pháp so sánh . . . . . . . . . . . . . . . 32

Chương 2. Một sốphương pháp giải phương trình vô tỷchứa tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1. Sửdụng phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2. Sửdụng phương pháp đặt ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. Sửdụng định lí Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4. Sửdụng phương pháp điều kiện cần và đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5. Sửdụng phương pháp hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Chương 3. Một sốcách xây dựng phương trình vô tỷ. . . . . 48 3.1. Xây dựng phương trình vô tỷtừcác phương trình đã biết cách giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2. Xây dựng phương trình vô tỷtừhệphương trình. . . . . . . . . . . 52 3.3. Dùng hằng đẳng thức đểxây dựng các phương trình vô tỷ. . 53 3.4. Xây dựng phương trình vô tỷdựa theo hàm đơn điệu. . . . . . . 55 3.5. Xây dựng phương trình vô tỷdựa vào hàm sốlượng giác và phương trình lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6. Xây dựng phương trình vô tỷtừphép "đặt ẩn phụkhông toàn phần".. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.7. Xây dựng phương trình vô tỷdựa vào tính chất vectơ. . . . . . . 60 3.8. Xây dựng phương trình vô tỷdựa vào bất đẳng thức. . . . . . . . 61 3.9. Xây dựng phương trình vô tỷbằng phương pháp hình học . . 65 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Mởđầu

Phương trình vô tỷlà một lớp bài toán có vịtrí đặc biệt quan trọng trong chương trình toán học bậc phổthông. Nó xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi cũng như kì thi tuyển sinh vào đại học. Học sinh phải đối mặt với rất nhiều dạng toán vềphương trình vô tỷmà phương pháp giải chúng lại chưa được liệt kê trong sách giáo khoa. Đó là các dạng toán vềphương trình vô tỷgiải bằng phương pháp đưa vềhệ(đối xứng hoặc không đối xứng), dùng phương pháp đặt ẩn phụkhông toàn phần, dạng ẩn phụlượng giác, . . . . Việc tìm phương pháp giải phương trình vô tỷcũng như việc xây dựng các phương trình vô tỷmới là niềm say mê của không ít người, đặc biệt là những người đang trực tiếp dạy toán. Chính vì vậy, đểđáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tác giảđã chọn đềtài "Một sốphương pháp giải phương trình vô tỷ" làm đềtài nghiên cứu của luận văn. Đềtài nhằm một phần nào đó đáp ứng mong muốn của bản thân vềmột đềtài phù hợp mà sau này có thểphục vụthiết thực cho việc giảng dạy của mình trong nhà trường phổthông. Luận văn được hoàn thành dưới sựhướng …