Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN GTNN

Chủ đề 6

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

A. Kiến thức cần nhớ 1. Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki –

Schwarz, đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng

trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này

chúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người Nga

Bunhiacopxki.

Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó

ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán

THCS, chúng ta cũng chỉ quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Bunhiacopxki.

2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki a. Dạng tổng quát + Cho hai dãy số tùy ý 1 2 3 n a ; a ; a ; ...; a và 1 2 3 n b ; b ; b ; ...; b . Khi đó ta có:

Dạng 1:     

2 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n a a ... a b b ... b a b a b ... a b          

Dạng 2:    2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n a a ... a b b ... b a b a b ... a b          

- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là: 1 2 n

1 2 n

a a a ... b b b   

Dạng 3:    2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n a a ... a b b ... b a b a b ... a b          

- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là: 1 2 n

1 2 n

a a a ... 0 b b b    

Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý 1 2 n a ; a ; ...; a và 1 2 n x ; x ; ...; x với 1 2 n x ; x ; ...; x 0 

Khi đó ta có  

2 2 2 2 1 2 n 1 2 n

1 2 n 1 2 n

a a ... a a a a ... x x x x x ... x

         

- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là: 1 2 n

1 2 n

a a a ... 0 x x x    

Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức

Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng

phân thức.

b. Một số dạng đặc biệt

n 2  n 3 

    

2 2 2 2 2 a b x y ax by         

2 2 2 2 2 2 2 a b c x y z ay by cz       

   2 2 2 2 a b x y ax by        2 2 2 2 2 2 a b c x y z ay by cz       

 

2 2 2 a b a b x y x y

   

  x, y 0 

 

2 2 2 2 a b c a b c x y z x y z

      

  x, y 0 

Đẳng thức xẩy ra khi a b x y  Đẳng thức xẩy ra khi a b c x y z  

B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi

Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng

minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác

định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số ví

dụ sau

Ví dụ 1.1: Cho a là số thức dương thỏa mãn mãn a 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 1 A a a  

+ Sai lầm thường gặp:

Sai lầm 1: 2 2 1 1 A a 2a. 2 a a     .

Sai lầm 2:  

2

2 2 1 1 1 1 1 A 1 1 a a .4 2 2 2 a 2 a

                  

Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 2 . + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 2 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại

1 a a 1 a    trái với giả thiết a 2 

+ Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức     

2 2 2 2 2 a b x y ax by     với dấu đẳng thức xẩy ra

tại a b x y  . Giả sử với các số ;  ta có

  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 A a . a . a a a a

       

                    

Ta cần chọn hai số ;  sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a 2  . Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:

a 2 4 a 1 1 a



  

              

+ Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có