Chuyên đề bất đẳng thức - Lê Xuân Đại

Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp

1

LÊ XUÂN ĐẠI

(GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những dạng toán thường có trong các đề thi ĐH-

CĐ. Các thí sinh của chúng ta đều rất sợ và lúng túng khi gặp phải bài toán chứng minh

BĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đơn giản là do các bài toán về BĐT thường là bài

toán khó trong đề thi, nhằm phân loại và chọn được các học sinh khá giỏi. Thường thì các sĩ

tử không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết các bài toán về BĐT. Chuyên đề này muốn hệ

thống cho các bạn các phương pháp cơ bản và một số dạng bài tập về BĐT. Hy vọng sẽ

giúp các em học sinh lớp 12 đạt kết quả cao trong kì thi ĐH- CĐ sắp tới.

Đọc xong chuyên đề này tôi tin các bạn sẽ không còn cảm giác sợ bất đẳng thức nữa

Khi chúng ta hết đi sự sợ hãi và ngại ngần thì chúng ta sẽ đam mê và dành tình yêu cho nó.

Dành tình yêu và sự đam mê cho toán học nói chung và BĐT nói riêng là điều rất cần thiết

của một người làm toán sơ cấp chân chính và sự lãng mạn của toán học cũng bắt nguồn từ

đó…

Thành công chỉ đến khi bạn làm việc tận tâm và luôn nghĩ đến những điều tốt

đẹp…

Những lời khuyên bổ ích khi học về BĐT:

1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT.

2. Nắm vững các phương pháp cơ bản chứng minh BĐT như: PP biến đổi tương

đương; PP sử dụng BĐT Cô si; PP sử dụng đạo hàm…

3. Đặc biệt chú trọng vào ôn tập các kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si, luôn biết đặt và trả

lời các câu hỏi như: khi nào áp dụng; điều kiện cho các biến là gì; dấu bằng xảy ra khi nào;

nếu áp dụng thế thì có xảy ra dấu bằng không; tại sao lại thêm bớt như vậy…

4. Luôn bắt đầu với các BĐT cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một

số BĐT cơ bản có nhiều áp dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp dụng được, chẳng hạn như:

* 2 2 2 a b c ab bc ca (1)      với mọi a,b,c

Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp

2

* 2 (a b c) 3(ab bc ca) (2)      với mọi a,b,c

* 2 2 2 2 (a b c) 3(a b c ) (3)      với mọi a,b,c

* 1 1 4 1 1 1 9 ; (4) a b a b a b c a b c         với mọi a,b,c dương

* 2 2 2 2 2 2 a x b y (a b) (x y) (5)        với mọi a,b,x,y.

*

2 2 2 x y (x y) (6) a b a b     với mọi a,b dương và x,y bất kỳ

*

2 2 2 2 x y z (x y z) (7) a b c a b c        với mọi a,b,c dương và x,y,z bất kỳ

………

Dấu bằng xảy ra ở các BĐT (1), (2), (3) và (4) là a=b=c.

Dấu bằng xảy ra ở BĐT (5) và (6) là x y a b  ; ở (7) là x y z a b c   (với mẫu khác 0).

(Các em hãy bắt tay ngay vào việc chứng minh các BĐT cơ bản trên nhé. Hãy tìm cho mình

một cách giải nhất quán, đơn giản, nhớ nó và khi làm bài thi đều phải chứng minh lại, rồi

mới được áp dụng).

Trước hết xin đưa ra 3 phương pháp thông dụng nhất để chứng minh BĐT

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:

1. Phương pháp chung

Để chứng minh A B  ta thường thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta chứng minh A B 0   . Để làm được điều này ta thường sử dụng hằng đẳng

thức để phân tích A B  thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.

Cách 2: Xuất phát từ một BĐT đúng nào đó ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh. Đối với

cách này thường cho ta lời giải không được tự nhiên cho lắm và thường sử dụng khi các

biến có những ràng buộc đặc biệt.

Chú ý: Một số kết quả hay sử dụng

* 2 x 0  với mọi x  và 2 x 0 x 0   

* x 0  với mọi x  và x 0 x 0   

2. Một số ví dụ