Chuyên đề bất đẳng thức - Võ Quốc Bá Cẩn

TRѬӠNG THPT CHUYÊN LÝ TӴ TRӐNG

7Ә TOÁN − TIN HӐC

Chuyên ÿӅ www.toanmath.com

BҨT ĈҶNG THӬC

Th͹c hi͏n: Võ Quӕc Bá Cҭn

+ӑc sinh chuyên Toán, niên khóa 2004 − 2006

TPCT − 2006

Tải thêm tài liệu môn Toán THPT tại: + Trang web: www.toanmath.com + Fanpage: www.facebook.com/toanmath + Groups: https://www.facebook.com/groups/toanmath

1

/ͥi nói ÿ̯u

----oOo----

%ҩt ÿҷng thӭc là mӝt trong nhӳng vҩn ÿӅ hay và khó nhҩt cӫa chѭѫng trình toán

phә thông bӣi nó có mһt trên hҫu khҳp các lƭnh vӵc cӫa toán hӑc và nó ÿòi hӓi

chúng ta phҧi có mӝt vӕn kiӃn thӭc tѭѫng ÿӕi vӳng vàng trên tҩt cҧ các lƭnh vӵc.

0ӛi ngѭӡi chúng ta, ÿһc biӋt là các bҥn yêu toán, dù ít dù nhiӅu thì cNJng ÿã tӯng

ÿau ÿҫu trѭӟc mӝt bҩt ÿҷng thӭc khó và cNJng ÿã tӯng có ÿѭӧc mӝt cҧm giác tӵ hào

khi mà mình chӭng minh ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc ÿó. Nhҵm “kích hoҥt” niӅm say mê

Eҩt ÿҷng thӭc trong các bҥn, tôi xin giӟi thiӋu vӟi vӟi các bҥn cuӕn sách “chuyên ÿӅ

Eҩt ÿҷng thӭc”.

Sách gӗm các phѭѫng pháp chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc mӟi mà hiӋn nay chѭa ÿѭӧc

phә biӃn cho lҳm. Ngoài ra, trong sách gӗm mӝt sӕ lѭӧng lӟn bҩt ÿҷng thӭc do tôi

Wӵ sáng tác, còn lҥi là do tôi lҩy ÿӅ toán trên internet nhѭng chѭa có lӡi giҧi hoһc có

Oӡi giҧi nhѭng là lӡi giҧi hay, lҥ, ÿҽp mҳt. Phҫn lӟn các bài tұp trong sách ÿӅu do tôi

Wӵ giҧi nên không thӇ nào tránh khӓi nhӳng ngӝ nhұn, sai lҫm, mong các bҥn thông

Fҧm.

Hy vӑng rҵng cuӕn sách sӁ giúp cho các bҥn mӝt cái nhìn khác vӅ bҩt ÿҷng thӭc và

mong rҵng qua viӋc giҧi các bài toán trong sách sӁ giúp các bҥn có thӇ tìm ra

phѭѫng pháp cӫa riêng mình, nâng cao ÿѭӧc tѭ duy sáng tҥo. Tôi không biӃt các

Eҥn nghƭ sao nhѭng theo quan ÿLӇm cӫa bҧn thân tôi thì nӃu ta hӑc tӕt vӅ bҩt ÿҷng

thӭc thì cNJng có thӇ hӑc tӕt các lƭnh vӵc khác cӫa toán hӑc vì nhѭ ÿã nói ӣ trên bҩt

ÿҷng thӭc ÿòi hӓi chúng ta phҧi có mӝt kiӃn thӭc tәng hӧp tѭѫng ÿӕi vӳng vàng.

Tôi không nói suông ÿâu, chҳc hҷn bҥn cNJng biӃt ÿӃn anh Phҥm Kim Hùng, sinh

viên hӋ CNTN khoa toán, trѭӡng ĈHKHTN, ĈHQG Hà Nӝi, ngѭӡi ÿã ÿѭӧc tham

Gӵ hai kǤ thi IMO và ÿӅu ÿRҥt kӃt quҧ cao nhҩt trong ÿӝi tuyӇn VN. Bҥn biӃt

không? Trong thӡi hӑc phә thông, anh ҩy chӍ chuyên tâm rèn luyӋn bҩt ÿҷng thӭc

thôi. (Các bҥn lѭu ý là tôi không khuyӃn khích bҥn làm nhѭ tôi và anh ҩy ÿâu nhé!)

2

0һc dù ÿã cӕ gҳng biên soҥn mӝt cách thұt cҭn thұn, nhѭng do trình ÿӝ có hҥn nên

không thӇ tránh khӓi nhӳng sai sót, mong các bҥn thông cҧm và góp ý cho tôi ÿӇ

cuӕn sách ngày càng ÿѭӧc hoàn thiӋn hѫn. Chân thành cҧm ѫn.

0ӑi ÿóng góp xin gӱi vӅ mӝt trong các ÿӏa chӍ sau:

+ Võ Quӕc Bá Cҭn, C65 khu dân cѭ Phú An, phѭӡng Phú Thӭ, quұn

Cái Răng, thành phӕ Cҫn Thѫ.

(071.916044

+ Email. babylearnmath@yahoo.com

Kính tһng các thҫy Ĉһng Bҧo Hòa, Phan Ĉҥi Nhѫn, Trҫn DiӋu Minh, HuǤnh Bӱu

Tính, cô Tҥ Thanh Thӫy Tiên và toàn thӇ các thҫy cô giáo trong tә Toán Tin, thân

Wһng các bҥn cùng lӟp.

3

0ӜT SӔ BҨT ĈҶNG THӬC THÔNG DӨNG

1. Bҩt ÿҷng thӭc AM-GM. 1Ӄu 1 2 , ,..., n a a a là các sӕ thӵc không âm thì

1 2 1

1 . ...

n n i n i

a a a a n = ≥ ∑

Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 1 2 ... n a a a = = = . 2. Bҩt ÿҷng thӭc AM-HM. 1Ӄu 1 2 , ,..., n a a a là các sӕ thӵc dѭѫng thì

1

1

1 1 . 1 1 .

n

i n i

i i

a n

n a

=

=

≥ ∑

∑

Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 1 2 ... n a a a = = = . 3. Bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki. Cho 2n sӕ thӵc 1 2 , ,..., n a a a và 1 2 , ,..., n b b b . Khi ÿó, ta có

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ... )( ... ) ( ... ) n n n n a a a b b b a b a b a b + + + + + + ≥ + + +

Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 1 2

1 2

... . n

n

a a a b b b = = =

4. Bҩt ÿҷng thӭc Minkowski. Cho 2n sӕ thӵc dѭѫng 1 2 , ,..., n a a a và 1 2 , ,..., n b b b . Khi ÿó vӟi mӑi 1, r ≥ ta có

1 1 1

1 1 1 ( )

n n n r r r r r r i i i i i i i a b a b

= = =

      + ≤ +             ∑ ∑ ∑

5. Bҩt ÿҷng thӭc AM-GM mӣ rӝng. 1Ӄu 1 2 , ,..., n a a a là các sӕ thӵc không âm và 1 2 , ,..., n β β β là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng 1 thì

1 2 1 1 2 2 1 2 ... .. n n n n a a a a a aβ β β β β β + + + ≥ 6. Bҩt ÿҷng thӭc …