Chuyên đề GTLN - GTNN và bất đẳng thức - Đặng Thành Nam

Chuyên đề 9: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức

590 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 9:

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

592 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Phương pháp: Biến đổi hai vế nhờ các phép toán đại số cơ bản; nhóm nhân tử chung; quy đồng; dựa vào giá trị tuyệt đối;… sau đó nếu có dùng các bất đẳng thức cơ bản

 

2 0 x y   và  

2 0 x y  

          2 2 2 2 2 2 1 0 2 x y z xy yz zx x y y z z x            

      2 2 2 2 3 0 x y z xy yz zx x y z xy yz zx             (*) Từ (*) ta có một bất đẩng thức khác hay được sử dụng:

      2 3 . . . 3 xy yz zx xy yz yz zx zx xy xyz x y z        

BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho , , x y z là các số thực thỏa mãn 2 2 2 1 x y z   . Chứng minh rằng 1 1 2 xy yz zx     .

Lời giải: Ta có

     

2 2 2 2 2 1 2 0

1 2

xy yz zx xy yz zx x y z x y z

xy yz zx

           

   

Lại có

   

       

2 2 2

2 2 2

1

1 0 2

1

xy yz zx x y z xy yz zx

x y y z z x

xy yz zx

        

      

   

Từ đó suy ra đpcm. Bài 2. Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn x y z   . Chứng minh rằng

    1 1 1 1 1 y x z x z x z y x z                  

GTLN-GTNN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

593 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Lời giải: BĐT tương đương với

   

   

 

1 1 1 1 1 0

1 1 1 0

1 0

x z y x z x z x z y

x z y x z x z y

x z y x z y xz

                  

            

           

    0. x z y x z y

xyz

     đúng vì 0 x y z    .

Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z   . Bài 3. Cho 2 số thực 0, 0 x y   thay đổi vào thỏa mãn điều kiện:

2 2 ( ) xy x y x y xy     . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 1 1 A x y  

Lời giải: Ta có

     

2 2 2 3 3

3 3 3 3 3 3 x y x y xy x y x y xy x y x y A x y x y x y xy

               

Theo giả thiết ta có

        2 2 2 2 2 2 3 1 ( ) 3 0 4 4 xy x y x y xy x y xy x y x y x y               .

2 0 4 16. x y x y A xy xy              

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 . 2 x y   Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 16.

Bài 4. Cho , , x y z là các số thực thuộc đoạn   0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức    3 3 3 2 2 2 2 P x y z x y y z z x       .

Lời giải :

Ta có          2 2 2

3 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 0 , , 0;1

; ;

x y y z z x x y z

x x x y y y z z z

            

      

Từ đó suy ra   2 2 2 2 2 2 3 x y z x y z x y y z z x         