Phương pháp dồn biến chứng minh bất đẳng thức - Phan Thành Việt

PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN

Phan Thành Việt

Nội dung:

1. Giới thiệu. 2. BĐT 3 biến với cực trị đạt được đối xứng. 3. Dồn biến bằng kĩ thuật hàm số. 4. BĐT 3 biến với cực trị đạt được tại biên. 5. BĐT 4 biến. 6. Dồn biến bằng hàm lồi. 7. Dồn biến về giá trị trung bình. 8. Định lý dồn biến tổng quát. 9. Nhìn lại. 10. Bài tập.

1. Giới thiệu.

Các bạn thân mến, rất nhiều trong số các BĐT mà ta đã gặp có dấu đẳng thức khi các biến số bằng nhau. Một ví dụ kinh điển là

Ví dụ 1: (BĐT Cauchy) Cho x, y, z > 0 thì x + y + z ≥3 3√xyz.

Có thể nói số lượng BĐT như vậy nhiều đến nỗi nhiều bạn sẽ thấy điều đó là ... hiển nhiên. Tất nhiên, không hẳn như vậy. Tuy nhiên, trong trường hợp đẳng thức không xảy ra khi tất cả các biến bằng nhau thì ta lại rất thường rơi vào một trường hợp khác, tổng quát hơn: đó là có một số (thay vì tất cả) các biến bằng nhau. Ở đây chúng tôi dẫn ra một ví dụ sẽ được chứng minh ở phần sau.

Ví dụ 2: (VMO) Cho x, y, z ∈R, x2 + y2 + z2 = 9. Thì

2(x + y + z) −xyz ≤10

Trong BĐT này thì dấu ”=” xảy ra khi x = y = 2, z = −1 (và các hoán vị).

1

Có thể nhiều bạn sẽ ngạc nhiên khi biết rằng còn có những bất đẳng thức mà dấu ”=” xảy ra khi các biến đều khác nhau. Ví dụ sau đây cũng sẽ được chứng minh ở phần sau.

Ví dụ 3: (Jackgarfukel) Cho a, b, c là 3 số thực không âm và có tối đa một số bằng 0. Thì ta luôn có:

a √

a + b + b √

b + c + c √c + a ≤5

4

√

a + b + c

Ở đây, dấu đẳng thức xảy ra khi a = 3b > 0, c = 0 (và các dạng hoán vị). Các bạn có thể tự hỏi là các giá trị chẳng hạn như (3, 1, 0) có gì đặc biệt mà làm cho đẳng thức xảy ra. Một cách trực giác, ta thấy dường như điểm đặc biệt đó là do có một biến bằng 0. Vì giả thiết là các biến không âm, nên biến bằng 0 còn được gọi là biến có giá trị trên biên.

Tóm lại, trong các BĐT mà ta gặp, có các trường hợp dấu ”=” xảy ra rất thường gặp: đó là trường hợp tất cả các biến bằng nhau (ta gọi là ”cực trị đạt được tại tâm”), tổng quát hơn là trường hợp có một số các biến bằng nhau (ta gọi là ”cực trị đạt được có tính đối xứng”), một trường hợp khác là dấu ”=” xảy ra khi có một biến có giá trị trên biên (và ta gọi là ”cực trị đạt được tại biên”).

Phương pháp dồn biến được đặt ra để giải quyết các BĐT có dạng như trên. Ý tưởng chung là: nếu ta đưa được về trường hợp có hai biến bằng nhau, hoặc là một biến có giá trị tại biên, thì số biến sẽ giảm đi. Do đó BĐT mới đơn giản hơn BĐT ban đầu, đặc biệt nếu BĐT mới chỉ còn một biến thì bằng cách khảo sát hàm một biến số ta sẽ chứng minh BĐT khá đơn giản. Chính vì tư tưởng là giảm dần số biến nên phương pháp này được gọi là phương pháp dồn biến.

Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày các kĩ thuật chính của phương pháp thông qua các bài toán cụ thể. Đối tượng rất quan trọng mà chúng tôi muốn bạn đọc nắm bắt là các BĐT với 3 biến số. Sau đó, các mở rộng cho 4 biến sẽ được trình bày. Cuối cùng, chúng ta đến với các phương pháp dồn biến tổng quát cho n biến số, trong đó bạn đọc sẽ cùng chúng tôi đi từ những kết quả ”cổ điển” tới những cải tiến nhỏ và sau đó là một kết quả

2