Bài tập hệ thức lượng trong tam giác, vectơ Toán 10 Cánh Diều

Trang 1

PHẦN A. LÝ THUYẾT I. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Cho tam giác ABC vuông tại A có góc  ABC α =

( ) ( )

( ) ( )

sin ,cos ,tan ,cost

sin 90 cos ,cos 90 sin

tan 90 cot ,cot 90 tan

AC AB AC AB BC BC AB AC α α α α

α α α α

α α α α

° °

° °

= = = =

− = − =

− = − =

- sin của góc α , kí hiệu là sinα , được xác định bởi: 0 sin y α = ; - côsin của góc α , kí hiệu là cosα , được xác định bởi: 0 cos x α = ;

- tang của góc α , kí hiệu là tanα , được xác định bởi: ( ) 0 0 0 tan 0 ; y x x α = ≠

- côtang của góc α , kí hiệu là cotα , được xác định bởi: ( ) 0 0 0 cot 0 x y y α = ≠ .

Các số sin ,cos ,tan ,cot α α α α được gọi là các giá trị luợng giác của góc α . Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc: 0 ,90 ,180 ° ° ° . Giải.

Với 0 ; α = ° khi đó, M trùng với ( ) 1;0 A . Do đó sin 0 0 ° = , cos0 1,tan 0 ,cot 0 ° = ° ° không xác định.

Với 90 ; α = ° khi đó, M trùng với ( ) 0;1 B . Do đó sin90 1 ° = , cos90 0,cot90 0,tan 0 ° = ° = ° không xác định.

Với 180 ; α = ° khi đó, M trùng với ( ) 1;0 C − . Do đó sin180 0 ° = , cos180 0,tan180 0,cot180 ° = ° = ° không

xác định.

Chú ý. ( ) ( ) sin cos tan 90 ;cot 0 180 cos sin α α α α α α α α = ≠ ° = ° < < °

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

sin 90 cos 0 90

cos 90 sin 0 90

tan 90 cot 0 90

cot 90 tan 0 90

α α α

α α α

α α α

α α α

°− = ° ≤ ≤ °

°− = ° ≤ ≤ °

°− = ° ≤ ≤ °

°− = ° ≤ ≤ °

Với 0 180 α ° ≤ ≤ ° thì: - ( ) sin 180 sin α α °− =

- ( ) cos 180 cos α α °− = −

- ( ) ( ) tan 180 tan 90 α α α °− = − ≠ ° ,

Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0° ĐẾN 180°. ĐỊNH LÍ COSIN, SIN

TRONG TAM GIÁC

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

- ( ) ( ) cot 180 cot 0 , 180 α α α α °− = − ≠° ≠ ° .

Ví dụ 2. Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức sau:

cos15 sin35 cos55 cos165 cos180 . T = °− °+ °+ °− ° Giải

( ) ( ) cos15 sin35 cos 90 35 cos 180 15 1

cos15 sin35 sin35 cos15 1 1

T ° ° ° ° ° °

° ° ° ° = − + − + − +

= − + − + =

Ví dụ 3. Viết giá trị lượng giác của góc 120°. Giải

Ta có: 3 1 sin120 sin 60 ; cos120 cos60 2 2 ° = ° = ° = − ° = −

3 tan120 tan 60 3; cot120 cot 60 . 3 ° = − ° = − ° = − ° = −

Tương tự ta có bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

II. Định lí côsin Cho tam giác ABC có , , . BC a CA b AB c = = = khi đó

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 cos cos 2

2 cos cos 2

2 cos cos 2

b c a a b c bc A A bc a c b b a c ac B B ac a b c c a b ab C C ab

+ − = + − ⇒ =

+ − = + − ⇒ =

+ − = + − ⇒ =

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có 3, 5 AB AC = = và  120 A = °

a) Tính cos A; b) Tính độ dài cạnh BC . Giải

a) Ta có: 1 cos cos120 cos60 2 A = ° = − ° = − .

b) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

2 2 2 2 cos . BC AB AC AB AC A = + − ⋅ ⋅ Thay số ta có:

2 2 2 1 3 5 2 3 5 49. 2 BC   = + −⋅⋅⋅− =    

Do đó 49 7 BC = = .

Trang 3

Ví dụ 5. Hai máy bay cùng xuất phát từ một sân bay A và bay theo hai hướng khác nhau, tạo với nhau góc

60° . Máy bay thứ nhất bay với vận tốc 650 / km h , máy bay thứ hai bay với vận tốc 900 / km h . Sau 2 giờ, hai máy bay cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết rằng cả hai máy bay bay theo đường thẳng và sau 2 giờ bay đều chưa hạ cánh. Giải Giả sử sau 2 giờ, máy bay thứ nhất đến vị trí B , máy bay thứ hai đến vị trí C . Ta có:

2.650 1300( ), 2.900 1800( ) AB km AC km = = = = ,  60 BAC ° =

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC , ta có:

 2 2 2

2 2 2 cos

1300 1800 2 1300 1800 cos60 2590000.

BC AB AC AB AC BAC

° = + − ⋅ ⋅

= + −⋅ ⋅ ⋅ =

Do đó 1609,35( ) BC km ≈ . Vậy sau 2 giờ hai máy bay cách nhau khoảng 1609,35 km. III. Định lí sin Cho tam giác ABC có , , BC a CA b AB c = = = và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R . Khi đó:

2 sin sin sin a b c R A B C = = = , 2 sin a R A = , 2 sin b R B = , 2 sin . c R C =

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có   120 , 45 A B ° ° = = và 20 CA = .Tính:

a) sin A ; b) Độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Giải

a) Ta có: 3 sin sin120 sin 60 2 A ° ° = = = .

b) Áp …