Phân loại và phương pháp giải bài tập tích vô hướng hai vectơ và ứng dụng

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 652

N

a

0y

0x -

M

O 0x

y

x

a

0y

0x

M

O 1

1

1 -

y

x

CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0 0 ĐẾN 0 180

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Định nghĩa

Với mỗi góc ( ) 0 0 0 180 a a £ £ ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho

 xOM a = và giả sử điểm M có tọa độ ( ) 0 0 ; . M x y

Khi đó ta có định nghĩa:

· sin của góc a là 0, y kí hiệu 0 sin ; y a =

· cosin của góc a là 0, x kí hiệu 0 cos ; x a =

· tang của góc a là ( ) 0 0 0 0 , y x x ¹

kí hiệu 0

0 tan ; y x a =

· cotang của góc a là ( ) 0 0 0 0 , x y y ¹ kí hiệu 0

0 cot . x y a =

2. Tính chất

Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu  xOM a = thì  0 180 . xON a = - Ta có 0, M N y y y = = 0. M N x x x = - = Do đó

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

sin sin 180

cos cos 180

tan tan 180

cot cot 180 .

a a

a a

a a

a a

= -

= - -

= - -

= - -

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Giá trị a

lượng giác

0 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 180

sin a 0 1 2 2 2 3 2 1 0

cosa 1 3 2 2 2 1 2 0 1 -

tan a 0 1

3 1 3  0

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 653

cot a  3 1

1

3 0 

Trong bảng kí hiệu " "  để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.

Chẳng hạn:

( )

( )

0 0 0 0

0 0 0 0

3 sin120 sin 180 60 sin 60 2 2 cos135 cos 180 45 cos45 . 2

= - = =

= - = - = -

4. Góc giữa hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ a

 và b

 đều khác vectơ 0.

 Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a =   và . OB b =   Góc  AOB với số đo từ 0 0 đến 0 180 được gọi là góc giữa hai vectơ a

 và .b

 Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ

a  và b

 là ( ) ,a b . Nếu ( ) 0 , 90 a b =  thì ta nói rằng a

 và b

 vuông góc với nhau, kí hiệu là a b ^   hoặc

. b a ^  

b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có ( ) ( ) , , . a b b a =  

được 6)

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1 : xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

1. Phương pháp giải.

 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc

 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A a b c = + + 2 0 2 0 2 0 sin90 cos90 cos180

b) B = - + - 2 0 2 0 2 0 3 sin 90 2cos 60 3 tan 45

b 

a b  a

A

B

O

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 654

c) C = - + - + 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 sin 45 2sin 50 3cos 45 2sin 40 4 tan55 .tan 35

Lời giải

a) ( ) A a b c a c = + + - = - 2 2 2 2 2 .1 .0 . 1

b) ( ) B æ ö æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ = - + - = ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø è ø

2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2

c) ( ) C = + - + + 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 sin 45 3cos 45 2 sin 50 sin 40 4 tan55 .cot55

( ) C æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = + - + + = + - + = ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø

2 2

2 0 2 0 2 2 1 3 3 2 sin 50 cos 40 4 2 4 4 2 2 2 2

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = + + + 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 3 sin 15 sin 75 sin 87

b) B = + + + + + 0 0 0 0 0 cos 0 cos20 cos 40 ... cos160 cos180

c) C = 0 0 0 0 0 tan 5 tan10 tan15 ...tan 80 tan 85

Lời giải

a) ( ) ( ) A = + + + 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 3 sin 87 sin 15 sin 75

( ) ( ) = + + + = + =

2 0 2 0 2 0 2 0 sin 3 cos 3 sin 15 cos 15 1 1 2

b) ( ) ( ) ( ) B = + + + + + + 0 0 0 0 0 0 cos0 cos180 cos20 cos160 ... cos80 cos100

( ) ( ) ( ) = - + - + + - =

0 0 0 0 0 0 cos 0 cos 0 cos20 cos20 ... cos 80 cos 80 0

c) ( )( ) ( ) C = 0 0 0 0 0 0 tan5 tan 85 tan15 tan 75 ... tan 45 tan 45

( )( ) ( ) =

=

0 0 0 0 0 0 tan5 cot5 tan15 cot5 ... tan 45 cot5

1

Dạng 2 : chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không

phụ thuộc x, đơn giản biểu thức.

1. Phương pháp giải.

 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

 Sử …