Bài tập phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Toán 10 Cánh Diều

Trang 1

A. LÝ THUYẾT

I. Tọa độ của một điểm

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a . Số a là hoành độ của điểm M . - Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b . Số b là tung độ của điểm M . Cặp số ( ; ) a b là toạ độ của điểm M trong mặt phẳng toạ độ Oxy . Ta kí hiệu là ( ; ) M a b .

II. Tọa độ của một vectơ

Toạ độ của điểm M được gọi là toạ độ của vectơ OM 

.

Nếu OM 

có toạ độ ( ; ) a b thì ta viết ( ; ) OM a b = 

, trong đó a gọi là hoành độ của vectơ OM 

và b gọi là

tung độ của vectơ OM 

Chú ý: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , ta có:

- ( ; ) ( ; ) OM a b M a b = ⇔ 

.

- Vectơ i có điểm gốc là O và có toạ độ (1;0) gọi là vectơ đơn vị trên trục Ox . Vectơ j có điểm gốc là O và có tọa độ (0;1) gọi là vectơ đơn vị trên trục Oy

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm , , , M N P Q. Tìm tọa độ các vectơ , , , OM ON OP OQ 

.

Bài 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Giải Từ hình trên ta có: ( 4;3), (3;0), (5; 2), (0; 3) M N P Q − − − .

Do đó: ( 4;3), (3;0) OM ON = − =  

(5; 2), (0; 3) OP OQ = − = −  

Với mỗi vectơ u trong mặt phẳng toạ độ Oxy , toạ độ của vectơ u là toạ độ của điểm A sao cho OA u =  . Nếu u có toạ độ ( ; ) a b thì ta viết ( ; ) u a b =  , trong đó a gọi là hoành độ của vectơ u và b gọi là tung độ của vectơ u. Ví dụ 2. Tìm toạ độ của các vectơ ,a b   ở hình

Giải Trong hình, ta có: +) a OA =   và (2;2) A ; toạ độ vectơ OA 

chính là toạ độ điểm A nên (2;2) a =  .

+) b OB =  

và (1; 3) B − ; toạ độ vectơ OB 

chính là toạ độ điểm B nên (1; 3) b = − 

.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu ( ; ) u a b =  thì u ai bj = +    . Ngược lại, nếu u ai bj = +    thì ( ; ) u a b =  .

Chú ý: Với ( ) 1 1 ; a x y =  và ( ) 2 2 ; b x y = 

, ta có:

1 2

1 2

x x a b y y

=  = ⇔ = 

  . Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác

định khi biết tọa độ của nó. Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm (1;2) A và vectơ (3; 4) u = −  .

a) Biểu diễn vectơ OA 

qua vectơ i và j

.

b) Biểu diễn vectơ u qua vectơ i và j

. Giải a) Vì điểm A có toạ độ là (1;2) nên (1;2) OA = 

. Do đó:

1 2 2 . OA i j i j = + = +     

b) Vì (3; 4) u = −  nên 3 ( 4) 3 4 u i j i j = + − = −      .

III. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm ( ) ; A A A x y và ( ) ; B B B x y .

Ta có: ( ) ; B A B A AB x x y y = − − 

.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm (1;1), (4;3), ( 1; 2) A B C −− không thẳng hàng.

a) Tìm toạ độ của vectơ AB 

. b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Giải

Trang 3

a) Ta có: (4 1;3 1) AB = − − 

. Vậy (3;2) AB = 

.

b) Gọi tọa độ của điểm D là ( ) ; D D x y , ta có: ( ) 1 ; 2 D D DC x y = −− −− 

. Tứ giác ABCD là hình bình hành

khi và chỉ khi

1 3 4 (3;2) 2 2 4

D D

D D

x x DC AB DC y y

−− = = −   = ⇔ = ⇔ ⇔   −− = = −   

  

Vậy ( 4; 4) D − − . Ví dụ 5. Trong một bài luyện tập của các cầu thủ bóng nước, huấn luyện viên cho các cầu thủ di chuyển theo ba đoạn liên tiếp. Đoạn thứ nhất di chuyển về hướng Đông Bắc với quãng đường là 20 m ; đoạn thứ hai di chuyển về hướng Tây Bắc với quãng đường là 10 m và đoạn thứ ba di chuyển theo hướng Đông Bắc với quãng đường 5 m.

a) Vẽ các vectơ biểu diễn sự di chuyển của các cầu thủ trong hệ trục toạ độ Oxy với vị trí bắt đầu như hình, trong đó ta quy ước độ dài đường chéo của mỗi ô vuông là 5 m. b) Tìm toạ độ của các vectơ trên. Giải a) Trong hình, ta thấy các vectơ , , AB BC CD 

lần lượt biểu diễn sự di chuyển theo đoạn thứ nhất; đoạn thứ hai; đoạn thứ ba của các cầu thủ.

b) Do độ dài đường chéo của mỗi ô vuông là 5 m nên độ dài cạnh của mỗi ô vuông là 5 2 2 m . Dựa vào số ô

vuông, ta có:

5 2 25 2 ;0 ; ;10 2 ; 2 2 A B                

15 2 35 2 …