Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

§1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH

THAM SỐCỦA ĐƯỜNG THẲNG

I. Tóm tắt lí thuyết

1. Véc-tơ chỉphương của đường thẳng

Định nghĩa 1. Véc-tơ −→u gọi là véc-tơ chỉphương của đường thẳng ∆nếu −→u ̸= −→0 và giá của −→u song song hoặc trùng với ∆.

2. Phương trình tham sốcủa đường thẳng

Định nghĩa 2. Cho đường thẳng ∆đi qua M0(x0;y0) và có véc-tơ chỉphương −→u = (u1;u2). Phương trình

tham sốcủa ∆: ß x = x0 +tu1 y = y0 +tu2 (1) (t là tham số).

△ ! Nhận xét: M(x;y) ∈∆⇔∃t ∈R : ß x = x0 +tu1 y = y0 +tu2

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Định nghĩa 3. Cho đường thẳng ∆đi qua M0(x0;y0) và có véc-tơ chỉphương −→u = (u1;u2), trong đó u1 và u2 ̸= 0. Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆là

x−x0

a = y−y0

b

4. Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa 4. Véc-tơ −→n gọi là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆nếu −→n ̸= −→0 và giá của −→n vuông góc với ∆.

5. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa 5. Phương trình Ax + By +C = 0 (với A2 + B2 ̸= 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. △ ! Nhận xét:

• Nếu đường thẳng ∆có phương tình Ax+By = C thì đường thẳng ∆có véc-tơ pháp tuyến −→n = (A;B), véc-tơ chỉphương là −→u = (B;−A) hoặc −→ u′ = (−B;A).

171

172 CHƯƠNG 3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

• Nếu đường thẳng ∆đi qua M (x0;y0) và có một véc-tơ pháp tuyến −→n = (A;B) thì phương trình đường thẳng ∆: A(x−x0)+B(y−y0) = 0.

• Đường thẳng ∆đi qua hai điểm A(a;0), B(0;b) (với a.b ̸= 0) thì phương trình đường thẳng ∆có dạng: x a + y

b = 1. Đây gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

• Đường thẳng ∆đi qua điểm M (x0;y0) và có hệsốgóc k thì phương trình đường thẳng ∆là: y−y0 = k(x−x0). Đây là phương trình đường thẳng theo hệsốgóc.

• Nếu đường thẳng ∆có véc-tơ chỉphương −→u = (u1;u2) thì nó có hệsốgóc là k = u2 u1 . Ngược lại, nếu

đường thẳng ∆có hệsốgóc k = a

b thì một véc-tơ chỉphương của nó là −→u = (1;k).

II. Các dạng toán

Dạng 1. Viết phương trình tham sốcủa đường thẳng

Đểlập phương trình tham sốcủa đường thẳng ∆ta cần xác định một điểm M (x0;y0) ∈∆và một véc-tơ chỉphương −→u = (u1;u2).

Vậy phương trình tham sốđường thẳng ∆: ß x = x0 +tu1 y = y0 +tu2

Ví dụ1. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham sốđường thẳng ∆biết ∆đi qua M(1;2) và có vec-tơ chỉphương −→u = (−1;3).

Lời giải. Phương trình tham sốđường thẳng ∆: ß x = 1−t y = 2+3t .

Ví dụ2. Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua A(1;2),B(3;1). Viết phương trình tham số đường thẳng d.

Lời giải. Đường thẳng d qua A(1;2) và nhận −→ AB = (2;−1) làm véc-tơ chỉphương.

Vậy phương trình tham sốđường thẳng d: ß x = 1+2t y = 2−t .

Ví dụ3. Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua M(−2;3) và song song với đường thẳng EF. Biết E(0;−1),F(−3;0).Viết phương trình đường thẳng d.

Lời giải. −→ EF = (−3;1).

Phương trình tham sốđường thẳng d: ß x = −2−3t y = 3+t .

BÀI TẬP TỰLUYỆN

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;−4), B(0,6). Viết phương trình tham sốcủa đường thẳng AB. Lời giải. Ta có: −→ AB = (−3;10). Đường thẳng (AB) qua A(3;−4) và nhận −→ AB = (−3;10) làm véc-tơ chỉphương.

Vậy phương trình đường thẳng (AB): ß x = 3−3t y = −4+10t .