Hình học Oxy Elip và các bài toán liên quan - Nguyễn Thanh Tùng

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ ThayTungToan

Tham gia các khóa học môn Toán của Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng trên HOCMAI.VN

tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !

I. KIẾN THỨC CƠ SỞ

Để giải quyết tốt các lớp bài toán liên quan tới Elip (tìm điểm và viết phương trình tắc của elip) trước tiên chúng ta cần nắm được các kiến thức cơ bản qua sơ đồ sau:

Dựa trên các kiến thức cơ bản này, kết hợp với các bài toán trước các bạn đã được tìm hiểu, sẽ giúp ta giải quyết dễ dàng các lớp bài toán liên quan tới elip. Cụ thể: +) Khi gặp bài toán “Tìm điểm thuộc thỏa mãn điều kiện (*) cho trước ” thì về cơ bản ta cần thiết lập

được hai dấu “=” mà ở đó dữ kiện điểm thuộc luôn cho ta được một dấu “=” đầu tiên. Các dữ kiện còn

lại sẽ giúp ta tìm ra dấu “=” thứ hai. Nếu cần, trong một số bài toán ta có thể tham số hóa điểm thuộc

theo một ẩn. Ví như: .

+) Khi gặp bài toán “Viết phương trình chính tắc của elip (E)” cần cắt nghĩa chính xác dữ kiện của bài toán dựa trên các kiến thức cơ bản liên quan tới elip và tính đối xứng của elip (elip nhận hai trục tọa độ làm hai trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng).

II. CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình chính tắc của elip biết rằng có tâm sai

bằng và hình chữ nhật cơ sở của có chu vi bằng .

( ) E

( ) E

( ) E

2 2

2 2 ( ): 1 x y M E a b    ( sin ; cos ) M a t b t 

Oxy ( ) E ( ) E

5 3 ( ) E 20

ELIP VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

GV: Nguyễn Thanh Tùng

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ ThayTungToan

Tham gia các khóa học môn Toán của Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng trên HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !

Giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip có dạng:

Ta có và (với )

Khi đó ta có: hoặc (loại)

Với . Vậy phương trình chính tắc của elip là:

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho elip có phương trình . Tìm điểm M nằm trên elip

sao cho , trong đó lần lượt là các tiêu điểm trái, phải của elip. Giải:

Từ phương trình Elip :

Cách 1: Gọi 0 0 ( ; ) M x y , suy ra

1 0 0

2 0 0

3 5 5

3 5 5

c MF a x x a c MF a x x a

           

Khi đó 1 2 0 0 0 3 3 4 5 4 5 5 5 5 MF MF x x x             

Do đó

2 2 0 0 0 5 (5; ) ( ) 1 0 25 16

y M y E y     

Vậy (5;0) M Cách 2:

Gọi , khi đó

Thay (2) vào (1) ta được : .

Vậy

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip điểm . Viết phương trình

đường thẳng qua cắt tại hai điểm sao cho .

( ) E

2 2

2 2 1 x y a b  

5 5 3 3 c e c a a     2.(2 2 ) 20 5 5 a b a b b a         0 5 a  

2

2 2 2 2 2 2 5 (5 ) 18 45 0 3 3 a b c a a a a a a                    

15 a 

3 2 a b    ( ) E

2 2

1 9 4 x y  

Oxy

2 2

1 25 16 x y  

1 2 4 MF MF  1 2 , F F

( ) E

2 2

1 25 16 x y   2 2 5 3 4 a c a b b         

1

2

( 3;0)

(3;0)

F

F

   

0 0 ( ; ) M x y

2 2 2 2 0 0 0 0

2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0

( ) 1 1 (1) 25 16 25 16 4 ( 3) 4 6 5 (2)

x y x y M E

MF x y y x x

                          

2 2 0 0 0 6 5 1 25 16 x x x    

0 0 2 0 0 2 0 0

5 0 3 50 175 0 35 640 0 3 9

x y x x x y

               (5;0) M

Oxy

2 2 ( ): 1 4 x E y   2 2 ; 3 3 M        M E , A B 2 MA MB 