Tuyển chọn 100 bài toán hình học giải tích phẳng Oxy - Nguyễn Minh Tiến

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC SẮC - WWW.TOANMATH.COM

Giáo viên : Nguyễn Minh Tiến

Hà Nội

1

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

Đềbài 01 : Trong mặt phẳng với hệtọa độOxy cho tam giác ABC có A (1; 5), điểm B nằm trên đường thẳng (d1) : 2x + y + 1 = 0 và chân đường cao hạđỉnh B xuống đường thẳng AC nằm trên đường thẳng (d2) : 2x + y −8 = 0. Biết điểm M (3; 0) là trung điểm của cạnh BC. Tìm tọa độcác đỉnh B và C của tam giác.

Lời giải tham khảo :

Gọi điểm B (a; −2a −1) ∈(d1)

Điểm H (b; 8 −2b) ∈(d2)

Ta có M là trung điểm của BC ⇒C (6 −a; 2a + 1)

Ta có H ∈AC nên −−→ AH và −−→ HC cùng phương

−−→ AH = (b −1; 3 −2b) và −−→ HC = (6 −a −b; 2a + 2b −7)

−−→ AH và −−→ HC cùng phương ⇒ b −1 6 −a −b = 3 −2b 2a + 2b −7 ⇔a = 11 −6b (1)

H là chân đường cao hạtừB xuống AC ⇒AH⊥BH ⇔−−→ AH.−−→ BH = 0

−−→ BH = (b −a; 2a −2b + 9) ⇒−−→ AH.−−→ BH = 0 ⇔(b −1) (b −a) + (3 −2b) (2a −2b + 9) = 0

⇔5b2 −5ab −25ab + 7a + 27 = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta được 5b2 −5b (11 −6b) −25b + 7 (11 −6a) + 27 = 0

⇔35b2 −122b + 104 = 0 ⇔



 b = 2

b = 52

35

Thay ngược lại ta có điểm B và C cần tìm

Đềbài 02 : Trong hệtọa độOxy hình thang cân ABCD có diện tích bằng 45

2 , đáy lớn CD nằm

trên đường thẳng (d) : x −3y −3 = 0. Biết hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm I (2; 3). Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độdương.

Lời giải tham khảo : ABCD là hình thang cân ⇒tam giác ICD vuông cân tại I

Ta có CD = 2d (I; CD) = 2.|2 −3.3 −3| √

10 = 2 √

10 ⇒IC = √

20

Lấy C (3a + 3; a) ∈(d) ⇒IC2 = (3a + 1)2 + (a −3)2 = 20 ⇔a = ±1 ⇒C (6; 1)

Phương trình BD đi qua điểm I và nhận −→ IC làm vtpt ⇒BD : 2x −y −1 = 0

D là giao điểm của BD và CD ⇒D (0; −1)

Tổng hợp các bài toán đặc sắc 2

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

Đặt IA = IB = x ⇒SIAB = 1

2x2; SIAD = x √

5 = SIBC; SICD = 10

⇒SABCD = 1

2x2 + 2x √

5 + 10 = 45

2 ⇔



x = √

5 (tm)

x = −5 √

5 (loai)

⇒DI

IB = 2 ⇒−→ DI = 2−→ IB (∗)

Gọi B (b; 2b −1) ∈BD từ(∗) ⇒B (3; 5)

Phương trình đường thẳng BC đi qua B và C ⇒BC : 4x + 3y −27 = 0.

Bài toán giải quyết xong.

Đềbài 03 (k2pi Lần 15 - 2014) : Trong hệtọa độOxy cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AD là (d) : 3x −4y −7 = 0. Gọi E là điểm nằm bên trong hình vuông ABCD sao cho tam giác EBC cân có \ BEC = 150o. Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E (2; −4).

Lời giải tham khảo :

Tam giác BEC cân và có \ BEC = 150o ⇒tam giác BEC cân tại E

Gọi H là hình chiếu của E lên AD ⇒H là trung điểm của AD và HE = d (E; AD) = 3

Đặt cạnh hình vuông là AB = x

Tam giác BEC cân tại E có \ BEC = 150o ⇒\ EBC = 15o. Gọi I là trung điểm của BC ⇒BI = x

2; EI = x −3

Tam giác BIE vuông tại I có góc [ EBI = 15o ⇒tan 15o = EI

BI = 2x −6

x

Tổng hợp các bài toán đặc sắc 3

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

⇒2 − √

3 = 2x −6

x ⇔x = 2 √

3

Phương trình đường thẳng EH qua điểm E và vuông góc với AD ⇒EH : 4x + 3y + 4 = 0

Đường thẳng AB // EH ⇒AB có dạng (d) : 4x + 3y + α = 0

Ta có d (E, AB) = |α −4|

5 = BI = √

3 ⇔α = 4 ± 5 √

3

Phương trình đường thẳng AB là (d) : 4x + 3y + 4 ± 5 √

3 = 0

Bài toán giải quyết xong.

Đềbài 04 : Trong hệtrục tọa độOxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻtừA, trung tuyến kẻ từB và phân giác kẻtừC có phương trình lần lượt là (d1) : 3x −4y + 27 = 0; (d2) : 4x + 5y −3 = 0; (d3) : x + 2y −5 = 0. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải tham khảo :

Ta có AH⊥BC ⇒BC có vtcp là −→ u4 = (3; −4)

Gọi −→ u5 = (a; b) là vtcp của đường thẳng AC. Ta có CD là phân giác trong góc C

⇒cos (−→ u3, −→ u4) = cos (−→ u3, −→ u5) −→ u3 = (2; −1)

⇒ |2a −b| √

5. √

a2 + b2 = 10 √

5. √

25 ⇔



 b = 0

b = −4

3a

Với b = −4

3a ⇒chọn −→ u5 = (3; −4) loại vì trùng với −→ u4

Với b = 0 ⇒−→ u5 = (1; 0)

Điểm A ∈(d1) ⇒A (−1 + 4a; 6 + 3a) và C ∈(d3) ⇒C (5 −2c; c) ⇒−→ AC = (6 −2c −4a; c −3a −6)

Ta có −→ u5 và −→ AC cùng phương ⇒c −3a −6 = 0 (1)

M là trung điểm của AC ⇒M 4a + 4 −2c

2 ; 3a + c + 6

2

. …