Đề thi thử Quốc gia 2016 môn Toán sở GD - ĐT Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT

Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (4,0 điểm).

1) Cho hàm số 1 1 x y x   

có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc (C) mà

khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng : 3 0 x y     bằng 2 .

2) Cho hàm số     3 2 2 1 5 1 2 2 y x m x m x m        có đồ thị là ( ) m C , với m là tham số. Tìm m để ( ) m C cắt

trục hoành tại ba điểm phân biệt   2;0 , , A B C sao cho trong hai điểm B, C có một điểm nằm trong và một điểm

nằm ngoài đường tròn  2 2 : 1 T x y  .

Câu 2 (2,0 điểm).

Giải phương trình 2 sin4 .sin 4 3cos .cos2 .sin 2 2 cos 6 x x x x x x           Câu 3 (1,5 điểm).

Giải bất phương trình     2 4 2 2 1 log 4 4 log 2 log (4 ). 2 x x x x      

Câu 4 (1,5 điểm).

Trong không gian toạ độ Oxyz , cho hai điểm (3;3;5) A , (1; 1;1); B 

1) Tìm tọa độ điểm G thuộc trục Oz sao cho khoảng cách từ G đến   Oxy bằng khoảng cách từ G đến A.

2) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết M, N lần lượt là hình chiếu của A, B trên (P) và 20 2 ; 3 3 AM BN   .

Câu 5 (2,0 điểm).

Tính tích phân  

2 1 3 2

2 1 2 1 1

x x x I x x e dx x

            

Câu 6 (2,5 điểm).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; 4 AB BC a   . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng 10 a . Tính thể tích khối chóp S.HBCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và HD. Câu 7 (1,5 điểm).

Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của (H). Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, tính xác suất để chọn được một tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác (H) và một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H). Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên BD và CD. Biết   4;6 A , phương trình của :3 4 4 0 HK x y    , điểm C thuộc đường thẳng

1 : 2 0 d x y    , điểm B thuộc đường thẳng 2 : 2 2 0 d x y    và điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1. Tìm tọa độ các điểm B, C, D. Câu 9 (2,0 điểm).

Giải hệ phương trình  

4 3 2

3 2 2 2 2

4 5 6 6 , 1 2 2 0

x x y x y x y x x x y x y xy y x

                 

Câu 10 (2,0 điểm).

Xét các số thực , , a b c thỏa mãn 3 a b c    và 2 2 2 27 a b c    .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức       4 4 4 2 2 2 2 2 2 . P a b c ab a b ac a c bc b c         

--------------------HẾT-----------------------

Họ và tên thí sinh:……………………….Họ, tên chữ ký GT1:…………………………………..

Số báo danh:……………………………..Họ, tên chữ ký GT2:…………………………………..

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2015-2016

Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT

Câu Nội dung Điểm 1.1 (2,0đ) 1) Cho hàm số 1 1 x y x   

có đồ thi ̣ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm

thuộc (C) mà khoảng cá ch từ điểm đó đến đường thẳng : 3 0 x y     bằng 2 .

+) TXĐ:  \ 1 D  . Gọi điểm 1 ( ; ) ( ); 1 1 a M a C a a    

0,25

+) Từ giả thiết ta có

1 3 1 ( , ) 2 2 2

a a a d M

      

0,25

2 3 4 2 1 a a a      0,25

2

2 5 6 0

2 0

a a

a a

        

0,25

2 3 a a    

0,25

+) Với 2 (2;3) a M   . Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) ta ̣i M là 2 7 y x  

0,25

+) Với 3 (3;2) a M   . Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) ta ̣i M là 1 7 2 2 y x  

0,25

* Vâ ̣y các phương trình tiếp tuyến của (C) cần tìm là: 2 7; y x   1 7 2 2 y x  

0,25

1.2 (2,0đ)

2) Cho hàm số 3 2 2( 1) (5 1) 2 2 y x m x m x m        có đồ thi ̣ ( m C ), vớ i m là tham số. Tìm m để ( m C ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biê ̣t (2;0), , A B C sao cho trong hai điểm B, C có một điểm

nằm trong và …