Đề thi thử THPT Quốc gia 2015 môn Toán Trung tâm luyện thi Thành Nhân - Đà Lạt

Bồi dưỡng văn hóa và luyện thi Đại học Thành Nhân Lô A14 Trần Lê, Đà Lạt - Ngày thi 5.07.2014 -

GV ra đề: Nguyễn Phú Khánh Môn Toán – Khối A,A1

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2015 Môn Toán; Khối A và khối A1.

Câu 1. (2 điểm)

a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số 3 2 3 2 y x x = − + .

b) Tìm giá trị tham số m∈ thì đồ thị của hàm số 4 2 4 4 y x mx m = − + − có 3 cực trị là 3 đỉnh của 1

tam giác nhận điểm 31 0; 4 H      

làm trực tâm.

Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình: + = − 1 3 sin 2x tan cos2 2 2 x x .

Câu 3. (1 điểm) Tính giới hạn:

5 3 2

3 2 1

5 2 6 4 lim

1 x x x x x B

x x x →

− + + − = − − + .

Câu 4. (1 điểm). Trong mặt phẳng ( ) P , cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng a , = 0 120 ABC .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABD . Trên đường thẳng vuông góc với ( ) P tại G lấy điểm S sao cho = 0 90 ASC . Tính thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng ( ) SBD theo a .

Câu 5. (1 điểm) a) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn

4321đồng thời các chữ số 1 và 3 luôn có mặt và đứng cạnh nhau.

b) Chứng minh rằng: với mọi cặp số nguyên ( ) , 1 k n k n ≤ ≤ ta có: 1 1 k k n n kC nC −

− = . Tìm số nguyên 4 n >

biết rằng ( ) 0 1 2 2 5 8 ... 3 2 1600 n n n n n C C C n C + + + + + = .

Câu 6. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC có phương trình các đường

thẳng , AB AC lần lượt là − − = + + = 4x 3 20 0; 2x 10 0 y y . Đường tròn ( ) C đi qua trung điểm của các

đoạn thẳng , , HA HB HC có phương trình là ( ) ( ) − + + = 2 2 1 2 25 x y , trong đó H là trực tâm của tam giác

ABC . Tìm tọa độ điểm H biết > −4 C x .

Câu 7. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ,cho hình vuông ABCD có M là trung điểm

của cạnh BC , N thuộc cạnh AC sao cho = 1

4 AN AC . Biết MN có phương trình − − = 3x 4 0 y

và ( ) 5;1 D . Tìm tọa độ của điểm B biết M có tung độ dương.

Câu 8. (1 điểm) Giải hệ phương trình: ( )  + − = + +  ∈   − − − = 

4 2 2 2 3 2 2

3 2 , 2 5 2 1 0

x x y y y x y x x y y x

Câu 9. (1 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: ( ) + + = + + + 2 2 2 2 3 a b c ab bc ca . Tìm giá trị lớn nhất

của = + + − + + +

2 2 2 1

3 S a b c a b c .

Bồi dưỡng văn hóa và luyện thi Đại học Thành Nhân Lô A14 Trần Lê, Đà Lạt - Ngày thi 5.07.2014 -

GV ra đề: Nguyễn Phú Khánh Môn Toán – Khối A,A1

y

2

2

-2

3

-1

x

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (2 điểm)

a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số 3 2 3 2 y x x = − +

∗ Hàm số đã cho xác định trên

∗ Ta có: ( ) 2 ' 3 6 3 2 y x x x x = − = − và ' 0 0 y x = ⇔ = hoặc 2 x = .

∗ Giới hạn: lim x y →−∞ = −∞ và lim x y →+∞ = +∞

∗ Bảng biến thiên:

x −∞ 0 2 +∞ ' y + 0 − 0 +

y 2 +∞

−∞ 2 − Hàm đồng biến trên mỗi khoảng( ) ;0 −∞ và( ) 2;+∞, nghịch biến trên ( ) 0;2 .

Hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x = với giá trị cực đại của hàm số là ( ) 0 2 y = và hàm số đạt cực tiểu tại

điểm 2 x = với giá trị cực tiểu của hàm số là ( ) 2 2 y = −.

∗ Đồ thị

• Điểm đặc biệt : '' 6 6 y x = − và " 0 1 y x = ⇔ = ( ) 1;0 I ⇒

• Chọn 3 2, x y = ⇒ = 1 2 x y = −⇒ = −.

Chú ý: Ta có thể tìm điểm đặc biệt bằng cách tìm giao điểm của đồ thị với trục tọa độ: Giao điểm của đồ thị với trục Oy là điểm( ) 0;2

Đồ thị cắt Ox tại ba điểm ( ) 1;0 ,( ) 1 3;0 ±

Nhận xét: Đồ thị nhận ( ) 1;0 I làm tâm đối xứng.

b)

0 ' 0 m y ≤ ⇒ = có 1 nghiệm, nên hàm số có 1 cực trị.

0 ' 0 m y > ⇒ = có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm đó, nên hàm số có 3 cực trị. Giả sử

( ) 0; 4 , A m − ( ) 2 2 ;4 4 , B m m m − − ( ) 2 2 ;4 4 C m m m − .

Vì tam giác ABC cân tại A và , B C đối xứng nhau qua Oy

H là trực tâm tam giác ABC khi ( ) . 0 AH BC BH AC BH AC

 ⊥ ⇒ = ∗  ⊥ 

.

Ta có: 2 31 2 ; 4 4 , 4 BH m m m   = − + +    

( ) 2 2 ;4 AC m m =

.

Khi đó ( ) 2 2 31 2 4 4 4 0 4 m m m m   ∗⇔ + − + + =     hay 3 2 31 8 8 1 0 2 m m m − − − = , phương trình có nghiệm 2 m =

thỏa 0 m > .