Kỹ thuật giảm biến và ứng dụng đạo hàm tìm GTNN - GTLN biểu thức nhiều biến

MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢM BIẾN VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN

- Chuyên đề dạy ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12-

Tác giả: Võ Thị Ngọc Ánh- THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành-Kon Tum (27/02/2021) I. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢM BIẾN VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC HAI BIẾN

1. Các bước giải bài toán Bước 1: Sử dụng các kĩ thuật giảm biến đưa biểu thức P = ( ) f t (t cũng có thể là x hoặc y ) hoặc so sánh bất đẳng thức ( ,≤≥)giữa P với hàm một biến ( ) f t . +Kỹ thuật 1: Thế biến để chuyển P về một biến ( là một trong các biến đã cho). +Kỹ thuật 2: Đặt biến phụ để chuyển P về một biến (là biến phụ đã đặt). +Kỹ thuật 3: Đánh giá bất đẳng thức ( ,≤≥) và đặt biến phụ (nếu cần) để chuyển việc đánh giá P về khảo sát hàm một biến.

Bước 2: Sử dụng các điều kiện ràng buộc (*), các bất đẳng thức cơ bản (được chứng minh trước đó) để tìm điều kiện “chặt” của biến t , thực chất đây là miền giá trị của t khi x , y thay đổi thỏa điều kiện (*).

Bước 3: Xét sự biến thiên của hàm ( ) f t và suy ra kết quả về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của biểu thức P .

2. Các ví dụ minh họa  Kĩ thuật 1: Thế biến để đưa biểu thức P về một biến Ví dụ 1: Cho ,x y∈ thỏa mãn 2 0, 12 y x x y ≤ + = + . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 2 17 P xy x y = + + + .  Lời giải: Ta có 2 2 12 12 x x y y x x + = + ⇔ = + − nên 2 2 3 2 ( 12) 2( 12) 17 3 9 7 P x x x x x x x x x = + − + + + − + = + − − . Vì 0 y ≤ nên 2 12 0 4 3 x x x + − ≤ ⇔−≤ ≤ . Xét hàm số 3 2 ( ) 3 9 7 f x x x x = + − − xác định và liên tục trên [ ] 4;3 − .

Ta có 2 1 '( ) 3 6 9, '( ) 0 3 x f x x x f x x =  = + − = ⇔= − 

và ( 4) 12, ( 3) 20, f f − = − − =

(1) 12, (3) 20 f f = − = . Nên

[-4;3] min ( ) (1) 12 x f x f ∈ = = − ,

[-4;3] max ( ) (3) 20 x f x f ∈ = = . Hay ta được 12 20 P − ≤ ≤ .

Khi 2 1 1

10 12

x x

y y x x

= =   ⇔   = − = + −  

thì 12 P = − , khi 2 3 3 0 12

x x y y x x

= =   ⇔   = = + −  

thì 20 P = .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là 12 − đạt được khi 1; 10 x y = = − , giá trị lớn nhất của P là 20 đạt được khi 3; 0 x y = = .  Kĩ thuật 2: Đặt biến phụ để đưa biểu thức P về biểu thức theo một biến  Dạng 1: Đặt biến phụ đối với biểu thức P có dạng đối xứng Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối D, năm 2009) Cho các số thực không âm ,x y thay đổi và thỏa mãn 1 x y + = . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 (4 3 )(4 3 ) 25 P x y y x xy = + + + .  Lời giải: Ta có,

2 2 3 3 2 2 3 2 2 16 12( ) 34 16 12 ( ) 3 ( ) 34 16 2 12 P x y x y xy x y x y xy x y xy x y xy   = + + + = + + − + + = − +   Đặt t xy = , ta được 2 16 2 12 P t t = − + .

Ta có ( )

2 1 0 4 4 x y xy + ≤ ≤ = nên 1 0; 4 t   ∈   

.

Xét hàm số 2 ( ) 16 2 12 f t t t = − + xác định và liên tục trên 1 0; 4      

.

2 1 '( ) 32 2; '( ) 0 16 f t t f t t = − = ⇔= .

Mà 1 191 1 25 (0) 12, , 16 16 4 2 f f f     = = =        

.

Suy ra

1 1 0; 0; 4 4

1 191 1 25 min ( ) ; max ( ) 16 16 4 2 t t f t f f t f     ∈ ∈        

    = = = =        

. Hay 191 25 16 2 P ≤ ≤ .

1 191 1 16 16

x y P xy

+ =  = ⇔ = 

nên khi 2 3 2 3 , 3 3 x y + − = = thì 191 16 P = .

1 25 1 2 4

x y P xy

+ =  = ⇔ = 

nên khi 1 2 x y = = thì 25 2 P = .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 191 16 đạt được khi 2 3 2 3 , 3 3 x y + − = = , giá trị lớn nhất

của P bằng 25 2 đạt được khi 1 2 x y = = .

 Nhận xét: Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là “Tìm ràng buộc của t như thế nào là chặt?”, kinh nghiệm là giá trị t được đánh giá đủ “chặt” để giải quyết bài toán khi tại các vị trí đạt cực trị đối với biến t ta tìm được các giá trị tương ứng của ,x y thỏa điều kiện (*).

Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối B, năm 2011) Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2( ) ( )( 2) x y xy x y xy + + = + + . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

3 3 2 2

3 3 2 2 4 9 x y x y P y x y x     = + − +        

.

 Lời giải:

Đặt x y t y x = + ta có ( ) ( ) 3 2 3 2 4 3 …