Đồ thị của hàm số đa thức

Hướng tới kỳ thi HSG quốc gia 2023

1

ĐÔ ̀ THỊ CỦ A HÀ M SÔ ́ ĐA THỨ C

Lê Phúc Lữ (ĐH KHTN TPHCM),

Trâ ̀n Nguyê ̃n Thanh Danh (PTNK TPHCM)

Ta bâ ́t đâ ̀u từ câu hỏi: tại sao pha ̀n mê ̀m Geogebra có chứ c năng (dự ng đườ ng conic đi qua 5 điê ̉m) và đo ̀ thị conic sễ luôn dự ng đượ c nê ́u trong 5 điê ̉m đã xết, không có 3 điê ̉m tha ̉ng hàng? Mong râ ̀ng qua bầi viê ́t nầy, bận đọc có thê ̉ tự trẩ lờ i đượ c câu hỏi đó.

Ta xuâ ́t phất từ bầi toấn nhệ nhầng như sâu:

Bài toán 1. Cho hầm so ́ 2 ( ) 2 , f x x x   tìm điê ̀u kiê ̣n của tham so ́ m đê ̉

2022 ( ( ( )...)) f f x m  có

2022 2 nghiê ̣m thự c phân biê ̣t.

Lờ i giải. Ta vễ đo ̀ thị của ( ) f x như bên dướ i vầ đi biê ̣n luâ ̣n từ ( ) (*) f x m  . Đê ̉ phương

trình nầy có hai nghiê ̣m phân biê ̣t thì đườ ng thâ ̉ng nâ ̀m ngang y m  phẩi câ ́t đo ̀ thị tậi hai

điê ̉m, dự a vầo thì dê ̃ thâ ́y 1. m  Tâ đâ ̣t hai nghiê ̣m tương ứ ng lầ 1 2 , . x x

Lậi xết tiê ́p ( ( )) f f x m  , đê ̉ phương trình nầy có 2 2 4  nghiê ̣m thì trướ c đó, (*) phẩi có 2

nghiê ̣m phân biê ̣t, đâ ̣t lầ 1 2 , x x như trên. Tâ viê ́t lậi

1 2 ( ( )) ( ( ) )( ( ) ) 0 f f x m f x x f x x      .

Mo ̃i phương trình ( ) 0, 1,2 i f x x i    lậi phẩi có 2 nghiê ̣m phân biê ̣t nên ta coi cấc so ́ ix

nầy có vai trò như tham so ́ m ở trên vầ điê ̀u kiê ̣n cho cấc so ́ nầy lầ 1. ix  Tiê ́p tục dự a vầo

đo ̀ thị, ta thâ ́y (*) có hai nghiê ̣m phân biê ̣t 1 ix  khi 1 3 m   .

Nê ́u xết tiê ́p ( ( ( ))) f f f x m  có 3 2 8  nghiê ̣m thì tương tự trên, câ ̀n tìm m đê ̉ (*) có hai

nghiê ̣m ix phân biê ̣t thỏa mẫn 1 3. ix   Đây lầ điê ̉m mâ ́u cho ́t của bầi toấn, ta quan sất đo ̀

thị vầ thâ ́y râ ̀ng, đườ ng thâ ̉ng 3 y  câ ́t tậi ( 1;3)  vầ (3;3) . Vì thê ́ vớ i điê ̀u kiê ̣n 1 3 m  

thì (*) cũng sễ có hai nghiê ̣m phân biê ̣t ix cũng thỏa mẫn 1 3 ix   . Vớ i sự “may mâ ́n” nầy,

điê ̀u kiê ̣n cho cấc phương trình chứ a hầm hợ p nhiê ̀u lâ ̀n hơn sễ không thây đo ̉i. Vì thê ́ nên đê ̉

( ( ( ) )) , 3

k f f x m k   có 2k nghiê ̣m phân biê ̣t

thì điê ̀u kiê ̣n lầ 1 3. m  

Hướng tới kỳ thi HSG quốc gia 2023

2

 Có mo ̣t câu hỏi đa ̣t ra là vớ i điê ̀u kiê ̣n nào của , , a b c thì tam thứ c 2 ax bx c   có đa ̣c điê ̉m

tương tự trên? Tiê ́p theo, ta xết mo ̣t bài toán khác cũng ra ́t thú vị vê ̀ tam thứ c ba ̣c hai.

Bài toán 2. Cho tam thức bậc hai hệ số thực

2 ( ) f x ax bx c với 0 a .

a) Biết rằng ( ( )) f f x x có nghiệm thực duy nhất 0. x x Tính giá trị của 0 ( ). f x

b) Giả sử rằng đồ thị hàm số ( ) y f x và ( ) x f y cắt nhau tại bốn điểm phân biệt tạo thành

tứ giác . ABCD Chứng minh rằng AC BD và ABCD không phải là hình thang.

Lờ i giải.

a) Dướ i đây, tâ xết ba cấch giẩi cho bầi toấn nầy:

Cách 1. Theo đề bài, ( ) f x x  phải có nghiệm duy nhất vì:

* Nếu ( ) f x x  vô nghiệm thì phải có ( ) , f x x x   hoâ ̣c ( ) , f x x x  . Trườ ng hợ p thứ nhâ ́t

sễ kếo theo ( ( )) ( ) , f f x f x x x    dâ ̃n đê ́n phương trình bân đâ ̀u vô nghiê ̣m. Trườ ng hợ p sau

cũng tương tự .

* Nếu ( ) f x x  có 2 nghiệm phân biệt là 1 2 , x x thì 1 1 1 ( ( )) ( ) f f x f x x   vầ 2 2 ( ( )) f f x x  nên

( ( )) f f x x  có ít nhâ ́t hai nghiê ̣m, cũng không thỏa mẫn.

Do đó, ( ) f x x  có nghiệm duy nhất, tứ c lầ nghiê ̣m kếp, cũng chính lầ nghiê ̣m 0x bân đâ ̀u. Suy

ra

2 0 ( ) ( ) f x x a x x    . Đậo hầm hai vê ́ đượ c 0 ( ) 1 2 ( ) f x a x x    nên có ngay 0 ( ) 1. f x  

Cách 2. Ta có kê ́t quẩ to ̉ng quất hơn: nê ́u đâ thứ c ( ) P x bâ ̣c châ ̃n có nghiê ̣m duy nhâ ́t 0x thì đó

cũng lầ nghiê ̣m của ( ). P x  Thâ ̣t vâ ̣y, thêo định lý Bezout thì 0 ( ) ( ) ( ) P x x x Q x   vớ i ( ) Q x lầ đâ

thứ c bâ ̣c lể. Khi đó, ( ) Q x phẩi còn nghiê ̣m nữ a, vầ nghiê ̣m đó phẩi trùng vớ i 0x nên tâ đâ ̣t …