Phương trình hàm liên quan đến các tính chất số học - Nguyễn Tài Chung

1 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, ĐT 0968774679

MỤC LỤC

A Ví dụgiải toán 1

B Bài tập 6

PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN ĐẾN CÁC TÍNH CHẤT SỐHỌC

Trong các kì thi Olympic toán trên thếgiới những năm gần đây xuất hiện nhiều bài toán xác định hàm sốmà trong lời giải cần sửdụng khá nhiều tính chất sốhọc, tính chất nghiệm của phương trình nghiệm nguyên. Các bài toán này đa dạng, khó và điều quan trọng khi chúng ta tiếp cận chúng là phải dựđoán được nghiệm đểtìm ra tính chất đặc trưng cho hàm cần tìm. Muốn học tốt phần này trước hết học sinh phải được trang bịkiến thức nền tương đối đầy đủvềSốhọc và Phương trình hàm. Trong bài viết chuyên đềnày chúng tôi xin nên ra một số ví dụtiêu biểu cùng với một hệthống bài tập tương đối nhiều, được sưu tầm qua các kỳthi Olympic trong những năm gần đây, qua đó nhằm giúp học sinh có những kĩ năng và phương pháp nhất định khi tiếp cận những bài toán dạng này.

A. VÍ DỤGIẢI TOÁN

Bài toán 1. Tìm tất cảcác hàm f : Z+ →Z+ thỏa mãn

m2 + f (n)| f 2(m) + n (1)

với mọi cặp sốnguyên dương m, n (với Z+ là tập các sốnguyên dương). L Lời giải Thay m = n = 1 vào (1), ta được 1 + f (1)|1 + f 2(1), suy ra ® 1 + f (1)|1 + f (1)2

1 + f (1)|(1 + f (1))2 ⇒1 + f (1)| h (1 + f (1))2 − 1 + f (1)2 i .

Do đó 1 + f (1)|2f (1), mà gcd ( f (1), 1 + f (1)) = 1 nên 1 + f (1)|2 và f (1) = 1. Bây giờ, thay m = 1 vào (1), ta được 1 + f (n)|1 + n. Từđó suy ra

f (n) ≤n, ∀n ∈Z+. (2)

Thay n = 1 vào (1), ta được m2 + 1| f 2(m) + 1. Từđó suy ra

m ≤f (m), ∀m ∈Z+. (3)

Kết hợp (2) và (3), ta được f (n) = n, ∀n ∈Z+. Hàm này thỏa mãn các yêu cầu bài toán. Chú ý 1. Có thểcoi (1) như một bài toán phương trình hàm (dù không có hai vế) và là một kiểu bài còn tương đối mới. Sau đây chúng ta sẽđưa ra cách tiếp cận cho các bài toán dạng này và một sốbài toán có dạng tương tự. Hy vọng rằng bạn đọc có thểthấy được điểm chung ởlời giải các bài toán này, từđó đúc kết được phương pháp giải chung.

Bài toán 2 (IMO Shortlisted 2004, India 2005). Tìm tất cảcác hàm f : Z+ →Z+ thỏa mãn

f 2(m) + f (n)| m2 + n 2 (1)

MỤC LỤC

2 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, ĐT 0968774679

với mọi cặp sốnguyên dương m, n. L Lời giải Phân tích, tìm lời giải. Đầu tiên ta thửtính một sốgiá trịđặc biệt như f (1), f (2), f (3),... để dựđoán công thức của hàm sốf. Từđiều kiện ban đầu ta thay m = n = 1 thu được f (1)2 + f (1) 4.

Từđiều kiện này nếu f (1) ≥2 thì f (1)2 + f (1) ≥6, vô lí, suy ra f (1) = 1. Thay m = 1, n = 2 và m = 2, n = 1 vào điều kiện ban đầu ta được  



f (1)2 + f (2) 9 f (2)2 + f (1) 25 ⇔

( (1 + f (2))| 9 f (2)2 + 1 25 ⇔f (2) = 2.

Như vậy ta dựđoán f (n) = n, ∀n ∈N∗.

✓Hướng thứnhất. Đầu tiên ta nghĩ đến hướng sửdụng phương pháp quy nạp. Giảsử

f (k) = k, k = 1, 2, . . . , n.

Ta sẽchứng minh f (n + 1) = n + 1. Thật vậy, ta thay m bởi n, thay n bởi n + 1; sau đó lại thay m bởi n + 1 vào điều kiện ban đầu ta được f (n)2 + f (n + 1) n2 + n + 1 2 ⇒ n2 + f (n + 1) n2 + n + 1 2

f (n + 1)2 + f (n) (n + 1)2 + n 2 ⇒ n + f (n + 1)2 n2 + 3n + 1 2 .

Ta nhận thấy từhai điều kiện trên đểđánh giá được f (n + 1) là rất khó khăn và hướng làm thứnhất này có thểbếtắc.

✓Hướng thứhai. Ta nhận thấy nếu chọn m, n ∈N∗sao cho m2 + n là một sốnguyên tố thì ta sẽtính được f (m)2 + f (n). Chọn m = p −1, n = 1, trong đó p là một sốnguyên tố. Khi đó từđiều kiện ban đầu ta thu được f (1)2 + f (p −1) (1 + p −1)2 ⇒f (p −1) + 1| p2

⇒f (p −1) + 1 ∈ ¶ p, p2â ⇒f (p −1) ∈ ¶ p −1, p2 −1 © .

• Trường hợp 1: f (p −1) = p2 −1. Đểsửdụng kết quảtrên ta thay m = p −1 vào điều kiện ban đầu và với mỗi sốnguyên dương n ta được f (p −1)2 + f (1) (p −1)2 + 1 2

⇔ p2 −1 2 + 1 (p −1)2 + 1 2

⇔ p2 −1 2 + 1 (p2 −2p + 2)2

⇔ p4 −2p2 + 2 (p4 + 8p2 + 4 −4p3 −8p)

⇔ p4 −2p2 + 2 −4p3 + 10p2 −8p + 2

⇔ p4 −2p2 + 2 4p3 −10p2 + 8p −2

⇒p4 −2p2 + 2 ≤4p3 −10p2 + 8p −2.

Từđây chia cảhai vếcho p3 rồi cho p →+∞là thấy vô lí.

MỤC LỤC