Cực trị hình học - Nguyễn Thúy Hằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Nguyễn ThịThuý Hằng

CỰC TRỊHÌNH HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. NGUYỄN VIỆT HẢI

Thái Nguyên - 2013

i

Mục lục

Mởđầu 1

1 Giải toán cực trịhình học bằng hình học thuần túy 5

1.1 Các tính chất, định lý vềso sánh các đại lượng hình học . . . 5

1.1.1 Bất đẳng thức tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 So sánh đường xiên - hình chiếu và ngược lại . . . . . . 6

1.1.3 Quan hệđường kính và dây của đường tròn . . . . . . . 6

1.1.4 Liên hệgiữa dây và khoảng cách từtâm đến dây . . . . 6

1.1.5 Quan hệgiữa diện tích và chu vi của một hình . . . . . 7

1.2 Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Ví dụsửdụng quan hệgiữa đường vuông góc, đường

xiên, hình chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Ví dụsửdụng mối quan hệgiữa đoạn thẳng và đường

gấp khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Ví dụáp dụng bất đẳng thức trong đường tròn . . . . . 10

1.2.4 Ví dụứng dụng diện tích tìm cực trị. . . . . . . . . . . 11

1.3 Các tính chất, định lý vềso sánh các đại lượng hình học trong

không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Các tính chất, định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Phương pháp biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.1 Hệthống các phép biến hình phẳng và không gian . . 20

1.4.2 Nội dung phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.3 Áp dụng các phép biến hình trong mặt phẳng . . . . . 21

ii

2 Giải toán cực trịhình học bằng công cụđại số 29

2.1 Bất đẳng thức đại số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Định nghĩa bất đẳng thức trong đại số. . . . . . . . . . 29

2.1.2 Các bất đẳng thức cơ bản hay dùng . . . . . . . . . . . 30

2.1.3 Nội dung của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.4 Các ví dụ(hình học phẳng và hình học không gian) . . 31

2.2 Giá trịlớn nhất, nhỏnhất của hàm số. . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.1 Hàm sốvà các giá trịcực trịcủa hàm số . . . . . . . . 44

2.2.2 Nội dung của phương pháp: . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.3 Các ví dụ(hình học phẳng và hình học không gian) . . 46

3 Giải toán cực trịhình học bằng các phương pháp khác 54

3.1 Phương pháp đường mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.1 Khái niệm đường mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.2 Nguyên lý tiếp xúc đường mức . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.3 Một sốdạng đường mức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.4 Nội dung của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.5 Ví dụáp dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Kết hợp các phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.1 Kết hợp phương pháp hình học thuần túy và phương

pháp tọa độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.2 Giải bài toán cực trịkết hợp phương pháp hình học

thuần túy và phương pháp đại số. . . . . . . . . . . . . 65

3.2.3 Giải bài toán cực trịkết hợp giữa phép đối xứng trục

và phương pháp tọa độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Tài liệu tham khảo 70