Phương trình hàm trên tập rời rạc

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

Copyright © 2019 by Tap chi va tu lieu toan hoc. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or distributed in any form or by anymeans, or stored in data base or a retrieval system, without the prior written the permission of the author.

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

Những bài toán phương trì ơng trình hàm ngày nay đã trở nên rất phổ biến đối với các bạn

học sinh yêu Toán vì chúng đã xuất hiện thư ờng xuyên trong các đề thi học sinh giỏi

các cấp cũng như k kì thi chọn đội tuyển quốc gia, VMO hay các kì thi khu vực và

quốc tế mà ta đư ợc biết đến. Đặc biệt, trong các lớp dạng phương t ơng trình hàm, thì

dạng phương tr ơng trình hàm trên các tập rời rạc là một mảng đư ợc ít các học sinh chú ý

tới bởi độ khó và chưa đư ợc tiếp xúc nhiều đồng thời ngoài việc sử dụng các kĩ thuật

xử lý phương t ơng trình hàm cơ bản chúng ta còn phải sử dụng các tính chất số học rất

đặc sắc của tập rời rạc như là là: tính chia hết, tính chất của số nguyên tố, của số

chính phươn ơng,... Trong ebook này chúng tôi sẽ mang tới cho bạn đọc tuyển tập các

bài toán phương t ơng trình hàm trên tập rời rạc và một số bài toán phương ơng trình hàm

khác hay và khó với những lời giải vô cùng đặc sắc nhằm giúp bạn đọc có thể có

nhiều cách nhìn khác về mảng toán này đồng thời cũng như chuẩn bị cho các kì

học sinh giỏi, olympic.

Mình xin gửi lời cảm ơn tới

1. Thầy Huỳnh Kim Linh – THPT chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hòa – Đã góp ý

giúp bọn mình về phần nội dung.

2. Bạn La Thị Đông Phươn ơng – Đại học Hoa Sen – Đã giúp bọn mình chỉnh sửa bản

thảo đề hoàn thiện hơn.

Một lần nữa gửi lời cảm ơn các bạn, các thầy cô đã ủng hộ và theo dõi fanpage suốt

thời gian qua. Hy vọng ebook này sẽ giúp ích đư ợc cho mọi ngư ời. Thank you!

Nhóm tác giả

Nguyễn Minh Tuấn

Doãn Quang Tiến

Tôn Ngọc Minh Quân

LỜI GIỚI THIỆU

Chinh phục olympic toán| 1

Phương trình hàm trên tập rời rạc

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

Chuyên đề

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP RỜI RẠC

Tạp chí và tư liệu toán học

Để giải quyết các bài toán phương trình hàm trên tập rời rạc mà có thể giải bằng các tính

chất số học thì nên lưu ý đến một số dấu hiệu sau:

 Nếu xuất hiện các biểu thức tuyến tính chứa lũy thừa, có thể nghĩ đến các bài toán

liên quan đến cấp của phần tử, các phương trình đặc biệt như phương trình Pell

hay phương trình Pythagore,<hay đưa về việc xử lý các phương trình vô định

nghiệm nguyên.

 Nếu hàm số đã cho là hàm nhân tính, ta thường hay xét đến giá trị hàm số tại các

điểm là số nguyên tố hoặc dãy vô hạn các số nguyên tố.

 Sử dụng các đẳng thức và bất đẳng thức số học.

 Và đặc biệt nhất, trong một số bài toán, hệ cơ số đếm có thể dùng để xây dựng

nhiều dãy số có tính chất số học thú vị. Trong hệ cơ số 10 chúng ta có thể rất khó

nhận ra quy luật của dãy, nhưng nếu chọn được hệ cơ số phù hợp thì bài toán có

thể giải quyết đơn giản hơn rất nhiều.

Nếu   2, , g g với g là cơ số đếm, thì mọi số nguyên dương M đều biểu diễn

duy nhất dưới dạng:

 

       1 2 1 2 1 2 1 ... ... n n n n n g M a a a a g a g a g a với        1 1 1;0 1, 2, . i a g a g i n

Cơ số đếm mà hay được sử dụng trong các bài toán phương trình hàm trên tập rời rạc là 2

và 3.

Sau đây, chúng tôi sẽ đề cập đến các bài toán phương trình hàm mà sử dụng các tính chất

cũng như các phương pháp trong số học để giải, nhằm giúp bạn đọc hiểu rõ hơn và có một

cái nhìn mới mẻ hơn về các phương pháp khác để giải phương trình hàm, bên cạnh đó

chúng tôi cũng sẽ giới thiệu cho bạn đọc các bài toán phương trình hàm và khó trong tài

liệu này. Nào cùng bắt đầu nhé!