Đề cương ôn tập cung và góc lượng giác, công thức lượng giác - Phùng Hoàng Em

ĐẠI SỐ10 Chương VI. LƯỢNG GIÁC

GV: PHÙNG V. HOÀNG EM

ÔN GIỮA KỲ

ĐỀCƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG VI

Môn: Toán – ĐẠI SỐ10

****************

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Công thức cơ bản.

Ì sin2 x+cos2 x = 1, suy ra: sin2 x = 1−cos2 x và cos2 x = 1−sin2 x ;

Ì 1+tan2 x = 1 cos2 x, suy ra: cos2 x = 1

1+tan2 x

Ì 1+cot2 x = 1

sin2 x, suy ra: sin2 x = 1

1+cot2 x

Ì tanx = sinx

cosx ; cotx = cosx

sinx ; tanx.cotx = 1.

2. Công thức cộng. (Dùng đểtách góc, hoặc ghép góc)

Ì sin(a+ b) = sinacosb +sinbcosa.

Ì sin(a−b) = sinacosb −sinbcosa.

Ì cos(a+ b) = cosacosb −sinasinb.

Ì cos(a−b) = cosacosb +sinasinb.

Ì tan(a+ b) = tana+tanb

1−tanatanb.

Ì tan(a−b) = tana−tanb

1+tanatanb.

3. Công thức góc nhân đôi. (Dùng đểgiảm góc)

Ì sin2α = 2sinαcosα.

Ì cos2α = cos2 α−sin2 α.

Ì cos2α = 2cos2 α−1 = 1−2sin2 α

Ì tan2α = 2tanα

1−tan2 α.

4. Công thức hạbậc. (Dùng đểlàm mất bình phương)

Ì sin2 α = 1−cos2α

2 .

Ì cos2 α = 1+cos2α

2 .

Ì tan2 α = 1−cos2α

1+cos2α, α ̸= π

2 + kπ, k ∈Z.

5. Dấu của các tỉsốlương giác tương ứng trên các góc phần tư.

Đểxác định dấu của các giá trịlượng giác của một góc α ta

xác định vịtrí điểm cuối của cung ↷ AM = α trên đường tròn

lượng giác. Điểm M thuộc góc phần tư nào thì ta áp dụng

bảng xác định dấu của các giá trịlượng giác.

Góc phần tư

Giá trịlượng giác I II III IV

sinα + + − −

cosα + − − +

tanα + − + −

cotα + − + −

x

y

I II

III IV

A A′

B

B′

M

α

GV: Phùng Hoàng Em – St 1

ĐẠI SỐ10 Chương VI. LƯỢNG GIÁC

B. CÁC DẠNG TOÁN TỰLUẬN

d Dạng 1. Cho trước 1 tỉsốlượng giác, tính các tỉsốlượng giác còn lại

1. Ta thực hiện theo các bước:

Ì Sửdụng công thức thích hợp đểtính tỉsốtiếp theo (chú ý nhóm công thức cơ

bản);

Ì Ứng với miền của α đềcho, xem Mục 5. đểchọn kết quảđúng.

Ì Tính toán các tỉsốcòn lại.

2. Nếu đềcho trước 1 tỉsốlượng giác, yêu cầu tính giá trịbiểu thức. Ta thường biến đổi

biểu thức đó vềgiá trịđã cho. Sau đó, thay kết quả.

VÍ DỤMINH HỌA

Ví dụ1

Biết sinα = 1

3 và α ∈ ³π

2 ;π ´ . Tính giá trịcủa cosα; tanα và cotα.

Lời giải.

Từsin2 α+cos2 α = 1 nên cos2 α = 1−sin2 α = 1−1

9 = 8

9 ⇒cosα = ±2 p

2 3 .

Ì Do α ∈ ³π

2 ;π ´ nên cosα < 0. Suy ra cosα = −2 p

2 3 .

Ì tanα = sinα

cosα = − 1

2 p

2 ; cotα = 1 tanα = −2 p

2.

□ Ví dụ2

Cho cosα = 3

5, với α ∈ µ3π

2 ;2π ¶ . Tính giá trịcủa sin2α và tan2α.

Lời giải.

Ta có sin2 α+cos2 α = 1 ⇒sin2 α = 1−cos2 α = 16

25 ⇒sinα = ±4

5

Ì Do α ∈ µ3π

2 ;2π ¶ nên sinα < 0 ⇒sinα = −4

5

Ì sin2α = 2sinαcosα = 2· 3

5 · −4

5 = −24

25

Ì tanα = sinα

cosα = −3

4 ⇒tan2α = 2tanα

1−tan2 α = −24

7

□ Ví dụ3

Cho tanα = −3

4, với π

2 < α < π. Tính giá trịcủa sinα, sin2α và cos2α.

Lời giải.

Ta có 1 cos2 α = 1+tan2 α = 1+ 9

16 = 25

16 ⇒cos2 α = 16

25.

GV: Phùng Hoàng Em – St 2

ĐẠI SỐ10 Chương VI. LƯỢNG GIÁC

Ì sin2 α = 1−cos2 α = 9

25 ⇒sinα = ±3

5.

Ì Do π

2 < α < π nên sinα > 0, do đó sinα = 3

5.

Ì Do π

2 < α < π nên cosα < 0, do đó cosα = −4

5.

• sin2α = 2sinαcosα = −24

25

• cos2α = 2cos2 α−1 = 7

25

□ Ví dụ4

Cho sinα = 3

5 với π

2 < α < π. Tính giá trịcủa biểu thức

P = cos µ9π

2 −α ¶ +2tan µ α+ 3π

2

¶ .

Lời giải.

Áp dụng công thức cộng, ta có P = cos 9π

2 .cosα+sin 9π

2 .sinα = sinα−2cotα.

Ì cos2 α = 1−sin2 α = 16

25 ⇒cosα = ±4

5

Ì Do π

2 < α < π ⇒cosα = −4

5 và cotα = cosα

sinα = −4

3

Ì Suy ra, P = sinα−2cotα = 49

15.

□ Ví dụ5

Cho tanα = 3. Tính giá trịbiểu thức B = sinα−cosα

sin3α+3cos3α+2sinα.

Lời giải.

Ta biến đổi biểu thức B vềtanα như sau:

B =

sinα cos3α −cosα

cos3α sin3α cos3α + 3cos3α

cos3α + 2sinα

cos3α

= tanα ¡ tan2α+1 ¢ − ¡ tan2α+1 ¢

tan3α+3+2tanα ¡ tan2α+1 ¢ = 3(9+1)−(9+1)

27+3+2.3(9+1) = 2

9. □

LUYỆN TẬP 1

Bài 1. Cho cosα = −12

13 và π

2 < α < π. Tính sinα và tanα.

Bài 2. Tính các giá trịlượng giác còn lại của góc α, biết

sinα = 1

3 và 900 < α < 1800; a) cosα = −2

3 và π < α < 3π

2 . b)

Bài 3. Tính các giá trịlượng giác còn lại của góc α, biết

tanα = 2 và π < α < 2π; a) cosα = 0,8 và tanα+cotα > 0. b)

GV: Phùng Hoàng Em – St 3