Các dạng bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

92

Chuyên đề 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC



A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

BÀI TOÁN Chứng minh mệnh đề  P n đúng với mọi n là số tự nhiên và n p  . ( * p N  )

Thực hiện 3 bước sau  Bước 1. Chứng minh mệnh đề  P n đúng với n p  .

(Bằng cách thế n p  vào mệnh đề  P n và thường nhận thấy ngay sự đúng đắn của nó.)

 Bước 2. Giả sử mệnh đề  P n đúng với n k  ( k p  ).

(Nghĩa là thế n k  vào mệnh đề  P n và giả sử mệnh đề  P k này là đúng)

 Bước 3. Chứng minh mệnh đề  P n đúng với 1 n k  .

(Nghĩa là thế 1 n k   vào mệnh đề  P n và dựa vào giả thiết  P k đúng để chứng minh

mệnh đề   1 P k  là đúng)

Khi đó ta kết luận được mệnh đề  P n đúng với mọi n là số tự nhiên và n p  .

Ghi chú .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................

B. BÀI TOÁN MẪU

Chứng minh n  Z+: 3 n n  chia hết cho 3.

Bài giải Nhắc lại:   1;2;3;4;... Z là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1 và còn được kí hiệu

* N Xét mệnh đề  P n với nội dung: “ 3 n n  chia hết cho 3 đúng với mọi n là số tự nhiên và n 

1”. Chứng minh  P n đúng như sau:

Trường THPT MARIE CURIE

93

 Bước 1. Trước hết, chứng minh mệnh đề  P n đúng với n = 1.

Thế n = 1 vào biểu thức 3 n n  ta được 3 3 – 1 –1 0. n n   Rõ ràng số 0 chia hết cho 3. Như vậy mệnh đề  P n đúng với n = 1.

Vấn đề  P n có đúng với n = 2, n = 3, n = 4, ... không?

Muốn vậy, phải thế từng giá trị n = 2, n = 3, n = 4, ... vào biểu thức 3 n n  và điều này là không tưởng! Cho nên ta làm tiếp bước thứ 2 như sau.  Bước 2. Giả sử mệnh đề  P n đúng với n = k (k > 1).

Nghĩa là giả sử biểu thức 

3 – P k k k  chia hết cho 3.

Nói lại cho rõ ở bước này: Thế lần lượt n = 2, n = 3, n = 4,... đến n = k vào biểu thức n3 – n và giả sử các biểu thức được thế đó đều chia hết cho 3.  Bước 3. Bây giờ chứng minh mệnh đề  P n cũng đúng với 1 n k  .

Thế 1 n k   vào biểu thức 3 n n  ta được:      3 1 1 – 1 P k k k     và dựa vào giả thiết:

“ 

3 – P k k k  chia hết cho 3” để chứng minh “   1 P k  cũng chia hết cho 3” .

Ta có:        3 3 2 3 2 1 1 – 1 3 3 1 – 1 3 2 . P k k k k k k k k k k            

Biến đổi biểu thức  

3 2 1 3 2 P k k k k     sao cho xuất hiện 

3 – P k k k  bằng cách biến đổi:

        3 2 3 2 3 2 1 3 2 – 3 3 – 3 P k k k k k k k k k k k k          

Theo giả thiết của bước 2 thì   3 – k k chia hết cho 3, đồng thời dễ dàng thấy   2 3 k k  cũng

chia hết cho 3 nên   1 P k  chia hết cho 3.

Như vậy: “ Nếu  P n đúng với n = k thì suy ra  P n đúng với n = k + 1” (*)

Ở bước 1 ta có  P n đúng với n = 1 nên từ (*) suy ra  P n đúng với n = 1 + 1 = 2

Bây giờ ta đã có  P n đúng với n = 2 và cũng từ (*) suy ra  P n đúng với n = 2 + 1 = 3

Bây giờ ta đã có  P n đúng với n = 3 và cũng từ (*) suy ra  P n đúng với n = 3 + 1 = 4.

.................................... Với cách lập luận tuần tự như trên ta kết luận được  P n đúng n  Z+.

Tên gọi  Ba bước chứng minh trên là tinh thần của “Nguyên lí quy nạp” với tên gọi: Bước 1 là bước cơ sở, Bước 2 là giả thiết quy nạp và Bước 3 là bước quy nạp.  Cách chứng minh trên gọi là cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

C. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Chứng minh:         1 1 2 3 ... (*) 2

n n n với mọi  * n