Phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông - Nguyễn Mỹ Lệ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰNHIÊN

NGUYỄN THỊMỸLỆ

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔTHÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰNHIÊN

NGUYỄN THỊMỸLỆ

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔTHÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS. ĐẶNG HUY RUẬN

Hà Nội - Năm 2015

Mục lục

Mởđầu 3

1 Kiến thức cơ bản vềphương pháp quy nạp toán học 6 1.1 Nguồn gốc của phương pháp quy nạp toán học . . . . . . 6 1.2 Quy nạp và quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . 12 1.3.1 Nguyên lí quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . 15 1.3.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Một sốhình thức của phương pháp quy nạp toán học . . 22 1.4.1 Hình thức quy nạp chuẩn tắc . . . . . . . . . . . 22 1.4.2 Hình thức quy nạp nhảy bước . . . . . . . . . . . 26 1.4.3 Hình thức quy nạp kép . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Ứng dụng phương pháp quy nạp toán học trong giải toán 35 2.1 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán sốhọc, đại số, giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Một sốbài toán chia hết và chia có dư. . . . . . . 35 2.1.2 Một sốbài toán vềdãy số. . . . . . . . . . . . . 41 2.1.3 Một sốbài toán vềtính tổng và chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.4 Một sốbài toán chứng minh bất đẳng thức . . . . 61 2.2 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán hình học 70 2.2.1 Tính toán bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . . 70 2.2.2 Chứng minh bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . 76

1

2.2.3 Dựng hình bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . . 82 2.2.4 Quy nạp với bài toán quỹtích . . . . . . . . . . . 85 2.3 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán rời rạc khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3 Một sốđềthi tham khảo 101 3.1 Đềthi Olympic toán học quốc tế . . . . . . . . . . . . . 101 3.2 Đềthi vô địch các nước và khu vực . . . . . . . . . . . . 103

2

Mởđầu

Nhà toán học vĩ đại Euclid đã viết "Trong thực tế, nhiều tính chất của các sốđã biết đều được tìm ra bằng phép quy nạp và được tìm thấy rất lâu trước khi sựđúng đắn của chúng được chứng minh chặt chẽ. Cũng có rất nhiều tính chất quen thuộc với chúng ta nhưng hiện thời chúng ta còn chưa chứng minh được. Chỉcó con đường quan sát và tư duy quy nạp mới có thểdẫn chúng ta đến chân lý." Câu nói này đã phần nào lột tảđược tầm quan trọng của phép quy nạp trong cuộc sống, khoa học và toán học. Tuy nhiên, quá trình quy nạp là quá trình đi từ"tính chất" của một sốcá thểsuy ra "tính chất" của tập thểnên không phải lúc nào cũng đúng. Phép suy luận này chỉđúng khi thỏa mãn những điều kiện nhất định. Trong toán học cũng vậy, quá trình suy luận này chỉđúng khi nó thỏa mãn nguyên lý quy nạp. Trong toán học có nhiều bài toán nếu chúng ta giải hay chứng minh theo phương pháp thông thường thì rất khó khăn và phức tạp, khi đó rất có thểphương pháp quy nạp toán học lại là công cụđắc lực giúp chúng ta giải bài toán đó. Trong chương trình toán học phổthông, phương pháp quy nạp đã được đềcập đến ởlớp 11, nhưng phương pháp này mới được đềcập trong một phạm vi hạn chế, chưa mô tảđược một cách hệthống, chưa nêu rõ được ứng dụng của phương pháp này trong Sốhọc, Đại số, Hình học,.... Từniềm yêu thích môn Toán nói chung và phương pháp quy nạp nói riêng, cùng mong muốn nghiên cứu phương pháp này một cách sâu hơn và hệthống, mong muốn được tích lũy kiến thức toán học nhiều hơn, có chuyên môn vững vàng hơn, tác giảđã lựa chọn đềtài

3