Bài tập phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp

1 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

3 PP QUY NẠP - DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG, NHÂN

A. LÝ THUYẾT 1. Nguyên lý quy nạp toán học:

Giả sử  P n là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n . Nếu cả hai điều kiện i và  ii dưới

đây được thỏa mãn thì  P n đúng với mọi n m  (m là số tự nhiên cho trước).

  i P m đúng.

 ii Với mỗi số tự nhiên , k m  nếu  1 P k  đúng.

Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học( hay gọi tắt là phương pháp quy nạp). Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau:

Mệnh đề đã đúng khi 1 n  nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với 1 1 2. n  Vì nó đúng với 2 n  nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với 2 1 3,... n  

Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên *. n 2. Phương pháp giải toán. Để chứng minh một mệnh đề  P n phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n m  (m là số

tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng  P n đúng khi 1 n .

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, k m  .  Giả sử  P n đúng khi n k  , ta sẽ chứng minh  P n cũng đúng khi 1 n k  .

 Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng  P n đúng với mọi số tự nhiên . n m 

B. PHÂN DẠNG VÀ CÁC BÀI TẬP MINH HỌA.

DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 1. Bài tập minh họa:

Bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n , ta có:

a).    

2 1.4 2.7 3 1 1 n n n n     

b).   

    

3 1 1 1 1.2.3 2.3.4 1 2 4 1 2 n n n n n n n        

Lời giải. ..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

§BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC