Chuyên đề quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân - Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu toán 11 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 1

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên ≥ n 1 ta luôn có: + + + + + = n(n 1) 1 2 3 ... n 2

Ví dụ 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên ≥ n 1 ta luôn có: + + + + − = 2 1 3 5 ... 2n 1 n

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với ∀ ≥ n 1, ta có bất đẳng thức: ( ) − < +

1.3.5... 2n 1 1 2.4.6.2n 2n 1

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với ∀≥ ∀> n 1, x 0 ta có bất đẳng thức:

+ + +  +  ≤    +

2n 1 n n 1

n x (x 1) x 1 2 x 1

. Đẳng thức xảy ra khi nào?

Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ta có thể chứng

minh theo cách sau

Bước 1: Ta chứng minh P(n) đúng với = n 1 và = k n 2

Bước 2: Giả sử P(n) đúng với = + n k 1, ta chứng minh P(n) đúng với = n k .

Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si).

1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ≥ n 1, ta luôn có

1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho là một số nguyên dương và là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên . Nếu

(1) là đúng và

(2) Nếu đúng, thì cũng đúng với mọi số tự nhiên ;

thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên .

Khi ta bắt gặp bài toán: Chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như

sau Bước 1: Kiểm tra có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai

Bước 2: Với , giả sử đúng ta cần chứng minh cũng đúng.

Kết luận: đúng với .

Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề đúng gọi là giả thiết quy nạp.

A. TÓM TẮC LÝ THUYẾT

Phương pháp . Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức (hoặc ) đúng với ta

thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính rồi chứng minh

Bước 2: Giả sử , ta cần chứng minh

.

Vấn đề 1. Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức. Bất đẳng thức

Tài liệu toán 11 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 2

1. + + + + + − + = 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1) 1 2 ... (n 1) n 6 2. + + + + = − 2 n n 1 2 n 3 2n 3 ... 3 4 3 3 4.3

Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau

1. ( )( ) + + + + + + = n n 1 n 2 1.2 2.3 ... n(n 1) 3 với ∀ ≥ n 1 2. ( )( ) + + + + = + − + 1 1 1 1 n ... 1.5 5.9 9.13 4n 1 4n 3 4n 1

3. ( )   + + + + + =      

3 3 3 3 2 n n 1 1 2 3 ... n 2 4.

( )

      +   − − − − =       −       −   2 4 4 4 4 1 2n 1 1 1 ... 1 1 9 25 1 2n 2n 1

5. + + + = + + 1 1 1 n ... 1.2 2.3 n(n 1) n 1 6. − + + + + + − = ∀ ≥ 2 2 2 2 2 n(n 1)(3n 2) 1.2 2.3 3.4 ... (n 1).n , n 2 12

7. + + + + + = 2 2 2 2n(n 1)(2n 1) 2 4 ... (2n) 3 8. + + + + + + + + = n(n 1)(n 2)(n 3) 1.2.3 2.3.4 ... n(n 1)(n 2) 4

Với mọi ∈ n * .

9. − + + + + + − = 2 2 2 2 2 n(n 1)(3n 2) 1.2 2.3 3.4 ... (n 1).n 12 với ∀ ≥ n 2 .

10. + + + + = + + + + 1 1 1 n(n 3) ... 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2) Với mọi ∈ n * .

Bài 3 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ≥ n 1 ta có:

+ π + + + + + = n 1 2 2 2 ... 2 2 2cos 2

(n dấu căn)

2. Chứng minh các đẳng thức

+

+ + =

nx (n 1)x sin sin 2 2 sinx sin2x ...sinnx x sin 2

với ≠ π x k2 với ≥ n 1.

Bài 4 Chứng minh rằng với mọi ≥ n 1 ta có bất đẳng thức: ≤ sinnx n sinx ∀∈ x

Bài 5

1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ≥ n 1, ta có :   + <    

n 1 1 3 n

2. > + n 3 3n 1 với mọi số tự nhiên ≥ n 2 ;

3. ( )

> + − 2.4.6.2n 2n 1 1.3.5... 2n 1

với mọi số tự nhiên ≥ n 1;

Bài 6 Cho hàm số f xác định với mọi ∈ x và thoả mãn điều kiện : + ≥ ∀ ∈ f(x y) f(x).f(y), x,y (*). Chứng minh

rằng với mọi số thực x và mọi số tự nhiên n ta có : ( )

    ≥       

2n

n x f x f 2

Bài 7 Chứng minh các bất đẳng thức sau

1. + + + + < − 2 1 1 1 1 1 ... 2 4 9 n n

∀ ≥ n 2 2. < + + + ≤ 1 1 1 n 1 .... 2 n 2 3 n

3. α > α tann ntan với ( )

π < α < − 0 4 n 1

4. > + ∀ ≥ n 2 2n 1 n 3

5. + > + ∀∈ n 2 * 2 2n 5, ( n ) 6. −> + ∀∈ ≥  n 1 * 3 n(n 2); ( n ,n 4)

7. −> − ∀∈ ≥  n 3 * 2 3n 1; ( n ,n 8) 8. π π + − ≥ + (n 1)cos ncos 1 n 1 n với ∀ ≥ n 1

9. + < + +

1 3 5 2n 1 1 . . .... 2 4 6 2n 2 3n …