Bài tập dãy số và cấp số - Trần Sĩ Tùng

I. Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau: · Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. · Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ³ 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ³ p thì:

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ³ p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

Baøi 1: Chứng minh rằng với mọi n Î N*, ta có:

a) 1 + 2 + … + n = ( 1) 2 n n + b) 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 ... 6 n n n n + + + + + =

c)

2 3 3 3 ( 1) 1 2 ... 2 n n n é ù + + + + = ê ú ë û d) 2 1.4 2.7 ... (3 1) ( 1) n n n n + + + + = +

e) ( 1)( 2) 1.2 2.3 ... ( 1) 3 n n n n n + + + + + + = f) 1 1 1 ... 1.2 2.3 ( 1) 1 n n n n + + + = + + Baøi 2: Chứng minh rằng với mọi n Î N*, ta có:

a) 2 2 1 n n > + (n ³ 3) b) 2 2 2 5 n n + > +

c) 2 2 1 1 1 1 ... 2 2 n n + + + < - (n ³ 2) d) 1 3 2 1 1 . ... 2 4 2 2 1

n n n

- <

+

e) 1 1 1 ... 2 2

n n + + + < f) 1 1 1 13 ... 1 2 2 24 n n n + + + > + + (n > 1)

Baøi 3: Chứng minh rằng với mọi n Î N*, ta có:

a) 3 11 n n + chia hết cho 6. b) 3 2 3 5 n n n + + chia hết cho 3.

c) 2 2 2 1 7.2 3 n n - - + chia hết cho 5. d) 3 2 n n + chia hết cho 3.

e) 2 1 2 3 2 n n + + + chia hết cho 7. f) 13 1 n - chia hết cho 6.

Baøi 4: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là ( 3) 2 n n - .

Baøi 5: Dãy số (an) được cho như sau: 1 1 2, 2 n n a a a + = = + với n = 1, 2, …

Chứng minh rằng với mọi n Î N* ta có: 1 2cos

2 n n a + = p .

CHƯƠNG III DÃY SỐ– CẤP SỐ

Trần Sĩ Tùng

Trang 1

II. Dãy số

1. Dãy số

: * ( ) u

n u n ® ¥ ¡ a Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …

2. Dãy số tăng, dãy số giảm

· (un) là dãy số tăng Û un+1 > un với " n Î N*.

Û un+1 – un > 0 với " n Î N* Û 1 1 n

n

u

u

+ > với "n Î N* ( un > 0).

· (un) là dãy số giảm Û un+1 < un với "n Î N*.

Û un+1 – un< 0 với " n Î N* Û 1 1 n

n

u

u

+ < với "n Î N* (un > 0).

3. Dãy số bị chặn

· (un) là dãy số bị chặn trên Û $M Î R: un £ M, "n Î N*. · (un) là dãy số bị chặn dưới Û $m Î R: un ³ m, "n Î N*. · (un) là dãy số bị chặn Û $m, M Î R: m £ un £ M, "n Î N*.

Baøi 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

a)

2

2 2 1

1 n n u

n

- =

+

b) ( 1) 2 1

n

n n u n + - = + c)

2

1

1 n n u n

- =

+

d) 1 3

n

n u æ ö = - ç ÷ è ø e) 2 cos n u n n = + f) ( 1)!

2 n n n u + =

Baøi 2: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

a) ( ) 1 1 1 2, 1 3 n n u u u + = = + b) 1 2 2 1 15, 9, n n n u u u u u + + = = = -

c) 1 1 2

2 0,

1 n n u u u + = =

+

d) 1 2 2 1 1, 2, 2 n n n u u u u u + + = = - = -

Baøi 3: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un), dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng qui nạp:

a) 1 1 1, 2 3 n n u u u + = = + b) 2 1 1 3, 1 n n u u u + = = + c) 1 1 3, 2 n n u u u + = =

d) 1 1 1, 2 1 n n u u u + = - = + e) 1 1 1, 7 n n u u u + = = + e) 1

5 4 u = , 2

1

1 + = + n n u u

ĐS: a) n n u 1 2 3 + = - b) n u n 8 = + c) n n u 1 3.2 - =

d) n u 1 = - e) n u n 7 6 = - f)

n

n n u 1

1 2 1

2

+

+

+ =

Baøi 4: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi:

a) 2 1 3 2 n n u n

+ = - b) 4 1

4 5

n

n n u - =

+

c) ( 1)

2

n

n u n - = +

d)

2

2

1

1 n

n n u

n

+ + =

+

e) 2 cos n u n n = + f) 2 n

n u

n

- =

Baøi 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi:

a) 2 3 2 n n u n

+ = + b) 1 ( 1) n u n n = + c) 2 4 n u n = +

Trần Sĩ Tùng

Trang 2