Bài tập phương pháp quy nạp toán học - Lê Bá Bảo

Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11

Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n

Chuyên : DÃY S - C P S C NG – C P S NHÂN ----------------- Ch 1: PH
NG PHÁP QUY N P TOÁN H C I- LÝ THUY T: ch ng minh m t m nh úng v i m i * n∈ b ng ph ng pháp quy n
p toán h c, ta th c hi n các b c sau: B c 1: Ki m tra m nh úng v i 1 n = . B c 2: Gi s m nh úng v i 1 n k = ≥(gi thi t quy n
p) B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i 1 n k = + . Chú ý: Trong TH ph i ch ng minh m t m nh úng v i m i s t nhiên n p ≥ ( p là s t nhiên) thì thu t toán là: B c 1: Ki m tra m nh úng v i n p = . B c 2: Gi s m nh úng v i 1 n p = ≥(gi thi t quy n
p) B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i 1 n k = + . II- BÀI T P MINH H A: D ng toán 1: CH NG MINH NG TH C- B T NG TH C Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i * n N ∈ thì ( )

2 1 3 5 ... 2 1 n n + + + + − = (1)

Bài gi i: Ki m tra khi 1 n = : m nh (1) tr thành: 2 1 1 1 = = ( úng) Gi s m nh (1) dúng khi 1 n k = ≥, t c là: ( )

2 1 3 5 ... 2 1 kS k k = + + + + − = (gi thi t quy n
p) C n ch ng minh m nh (1) úng v i 1 n k = + , t c là c n ch ng minh: ( ) ( ) ( )

2 1 1 3 5 ... 2 1 2 2 1 1 1 kS k k k + = + + + + − + + − = +

Th t v y: ( ) ( )

2 2 1 2 1 1 2 1 1 k k S S k k k k + = + + − = + + = +

V y m nh (1) úng v i m i * n∈ .

Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i * n∈ thì ( ) ( ) 3 1 2 5 8 ... 3 1 2 n n n + + + + + − = (2)

Bài gi i: Ki m tra khi 1 n = : m nh (2) tr thành 2 2 = ( úng) Gi s m nh (2) dúng khi 1 n k = ≥, t c là:

( ) (3 1) 2 5 8 ... 3 1 2 k k k S k + = + + + + − = (gi thi t quy n
p)

C n ch ng minh m nh (2) úng v i 1 n k = + , t c là c n ch ng minh:

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 3 1 1 2 5 8 ... 3 1 3 1 1 2 k k k S k k +

+ + + = + + + + − + + − =

Th t v y: ( ) ( ) ( )

2

1 3 1 3 7 4 3 1 1 3 1 1 2 2 k k k k k k S S k k +

+ + + = + + − = + + − =

Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11

Giáo viên: LÊ BÁ B O T Toán THPT Phong i n

( ) ( ) ( ) 4 3 1 1 3 1 1 3 2 2

k k k k + + + + + = =

V y m nh (1) úng v i m i * n∈ . Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên 2 n ≥ thì: 3 3 1 n n > + Bài gi i: Ki m tra v i 2 :9 7 n = > ( úng) Gi s b t ng th c úng v i ( ) 2 n k k = ≥ , t c là: 3 3 1 k k > + Ch ng minh b t ng th c úng v i 1 n k = + , t c là c n ch ng minh b t ng th c: ( ) 1 3 3 1 1 k k + > + +

Th t v y: 1 1 3 3 1 3 9 3 3 3 3 6 1 1 k k k k k k k + + > + ⇔ > + ⇔ > + + + − ( ) 1 3 3 1 1 6 1 k k k + ⇔ > + + + −

V i 2 k ≥ , khi ó 6 1 0 k −> nên: ( ) 1 3 3 1 1 k k + > + + .

V y 3 3 1 n n > + v i m i * 2, n n N ≥ ∈ .

Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên 3 n ≥ ta có: 2 3 4 5 n n n > + + Bài gi i: Ki m tra v i 3: 27 26 n = > ( úng) Gi s b t ng th c úng v i 3 n k = ≥ , ngh a là: 2 3 4 5 k k k > + + (gi thi t quy n
p) C n ch ng minh b t ng th c úng v i 1 n k = + , t c là c n ch ng minh: ( ) ( ) 2 1 3 1 4 1 5 k k k + > + + + + Th t v y:

( ) ( )

( ) ( )

2 1 2 1 2 2

2 1 2

3 4 5 3 3 12 15 3 2 1 4 4 2 6 5 5

3 1 4 1 5 2 6 5

k k k

k

k k k k k k k k k

k k k k

+ +

+

> + + ⇔ > + + ⇔ > + + + + + + + +

⇔ > + + + + + + +

V i 3 k ≥ , khi ó 2 2 6 5 k k + + nên: ( ) ( ) 2 1 3 1 4 1 5 k k k + > + + + +

V y: 2 3 4 5 n n n > + + v i 3 n ≥

Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d ng n ta có: n n n > +

Bài gi i: d) n n n > + Ta th v i 1:3 2 7 n = > + (Sai), 2:9 4 14 n = > + (Sai), 3: 27 8 21 n = > + (Sai) 4:81 16 28 n = > + ( úng), 5: 243 32 35 n = > + ( úng) D oán: n n n n > + ∀≥ . Ch ng minh b ng qui n
p toán h c. Ki m tra v i 4:81 16 28 n = > + ( úng) Gi s b t ng th c úng v i 4 n k = ≥ , ngh a là: k k k > + (gi thi t quy n
p) C n ch ng minh b t ng th c úng v i 1 n k = + , t c là c n ch ng minh: ( ) k k k + + > + +

Th t v y: ( ) 1 3 2 7 3 3 2 7 3.2 21 k k k k k k k k + > + ⇔ > + = +

Xét ( ) 1 3.2 21 2 7 1 2 14 7 0 4 k k k k k k k + + > + + ⇔ + − > ∀≥ (2)