Chuyên đề giới hạn, hàm số liên tục Toán 11 KNTTvCS

CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Ta nói rằng dãy số ( ) nu có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu nu có thể nhỏ hơn

một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim 0 n n u →+∞ = hay lim 0 n u = hay 0 nu → khi n →+∞.

Ta nói dãy số ( ) nv có giới hạn là a (hay nv dần tới a ) khi , n →+∞nếu ( ) lim 0. n n v a →+∞ − =

Kí hiệu: lim n n v a →+∞ = hay nv a → khi . n →+∞

Từ định nghĩa ta có các kết quả sau:

a) lim 0 lim 0 n n n n u u →+∞ →+∞ = ⇔ = ; hay lim 0 0 n→+∞ = ;

b) 1 lim 0 n n →+∞ = ; ( ) * 1 lim 0, 0, k n k k n →+∞ = > ∈ ; 1 lim 0 n n →+∞ = ;

3 1 lim 0 n n →+∞ = ;

c) lim 0 n

n q →+∞ = nếu 1 q < ;

d) Cho hai dãy số ( ) nu và ( ) nv

Nếu n n u v ≤ với mọi n và lim 0 n n v →+∞ = thì lim 0 n n u →+∞ = .

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

a) Nếu lim n u a = và lim nv b = và c là hằng số. Khi đó ta có :

 ( ) lim n n u v a b + = + ( ) lim n n u v a b • − = −

 ( ) lim .v . n n u a b = ( ) lim , 0 n

n

u a b v b • = ≠

 ( ) lim . . n c u c a = . lim nu a • = và 3 3 lim n u a =

 Nếu 0 n u ≥ với mọi n thì 0 a ≥ và lim n u a = .

b) Cho ba dãy số ( ) ( ) , n n u v và ( ) n w . Nếu ( ) , n n n u v w n ≤ ≤ ∀ và ( ) lim lim , n n u w a a = = ∈ thì

lim nv a = (gọi định lí kẹp).

c) Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:  Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.  Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.

CHƯƠNG

V

GIỚI HẠN

HÀM SỐ LIÊN TỤC

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

Kỹ năng sử dụng máy tính Tính lim n n u →∞ thì nhập nu và ấn phím CALC 10 10 n = .

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn ( ) nu có công bội q , với 1 q < được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 u S q = −

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

• Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là +∞ khi n →+∞, nếu nu có thể lớn hơn một số dương bất kì,

kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim n u = +∞ hay n u →+∞ khi . n →+∞

• Dãy số ( ) nu có giới hạn là −∞ khi n →+∞, nếu ( ) lim n u − = +∞.

Kí hiệu: lim n u = −∞ hay n u →−∞ khi . n →+∞

Nhận xét: ( ) lim . n n u u = +∞⇔ − = −∞

Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim k n = +∞ với k nguyên dương;

b) lim n q = +∞nếu 1 q > .

Quy tắc tính giới hạn vô cực

a) Nếu lim n u a = và lim nv = ±∞ thìlim 0 n

n

u v = .

b) Nếu lim 0 n u a = > , lim 0 nv = và 0, 0 nv n > ∀> thì lim . n

n

u v = +∞

c) Nếu lim n u = +∞ và lim 0 nv a = > thì lim . . n n u v = +∞

Quy tắc tìm giới hạn tích ( ) n n lim u .v

Nếu n n limu L,lim v (hay ) = = +∞ −∞. Khi đó ( ) n n lim u v

n limu L = n lim v ( ) n n lim u v

+ +∞ +∞ + −∞ −∞ − +∞ −∞ − −∞ +∞

CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

Page 3 Sưu tầm và biên soạn

Quy tắc tìm giới hạn thương n

n

u lim v

n limu n lim v Dấu của n v n

n

u lim v

L ±∞ Tùy ý 0

L 0 >

0 + +∞ 0 − −∞

L 0 < 0 + −∞ 0 − +∞

Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích trong bài toán giới hạn vô cực của dãy số.

TÓM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT

Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt:

;

;

2. Định lí: a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì • lim = a + b • lim = a – b • lim = a.b

•

b) Nếu un ≥ 0, ∀n và lim un= a

thì a ≥ 0 và lim

c) Nếu ,∀n và lim vn = 0

thì lim un = 0

d) Nếu lim un = a thì

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … =

1. Giới hạn đặc biệt:

;

2. Định lí:

a) Nếu thì

b) Nếu lim un = a, lim vn = ±∞ thì lim = 0

c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim vn = 0

thì lim =

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a

thì lim =

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô

định: , , ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử

dạng vô định.

1 lim 0 n n →+∞ = 1 lim 0 ( ) k n k n

+

→+∞ = ∈

lim 0 ( 1) n

n q q →+∞ = < lim n C C →+∞ =

lim n

n

u a v b =

n u a =

n n u v ≤

lim n u a =

1 1

u

q − ( ) 1 q <

lim n = +∞ lim ( ) k n k + …