Chuyên đề giới hạn, hàm số liên tục Toán 11 Cánh Diều

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số ( ) nu có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu nu có thể nhỏ hơn

một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim 0 n n u →+∞ = hay lim 0 n u = hay 0 nu → khi n →+∞.

Ta nói dãy số ( ) nv có giới hạn hữu hạn là a (hay nv dần tới a ) khi , n →+∞nếu ( ) lim 0. n n v a →+∞ − =

Kí hiệu: lim n n v a →+∞ = hay lim nv a = hay nv a → khi . n →+∞

2. Một số giới hạn cơ bản:

a) 1 lim 0 n = ; ( ) * 1 lim 0, k k n = ∈ ;

a) lim 0 c n = ; ( ) * lim 0, k c k n = ∈ ; c là hằng số;

c) lim 0 n

n q →+∞ = nếu 1 q < ;

d) Dãy số ( ) nu với 1 1

n

n u n   = +    

có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e ,

1 lim 1

n e n   = +    

. II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

a) Nếu lim n u a = và lim nv b = và c là hằng số thì :

 ( ) lim n n u v a b + = + ( ) lim n n u v a b • − = −

 ( ) lim .v . n n u a b = ( ) lim , 0 n

n

u a b v b • = ≠

 ( ) lim . . n c u c a = . lim nu a • = và 3 3 lim n u a =

b) Nếu 0 n u ≥ với mọi n và lim n u a = thì 0 a ≥ và lim n u a = .

Kỹ năng sử dụng máy tính Tính lim n n u →∞ thì nhập nu và ấn phím CALC 10 10 n = .

CHƯƠNG

III

GIỚI HẠN

HÀM SỐ LIÊN TỤC

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn ( ) nu có công bội q , với 1 q < được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 u S q = −

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

• Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là +∞ khi n →+∞, nếu nu có thể lớn hơn một số dương bất kì,

kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim n u = +∞ hay n u →+∞ khi . n →+∞

• Dãy số ( ) nu có giới hạn là −∞ khi n →+∞, nếu ( ) lim n u − = +∞.

Kí hiệu: lim n u = −∞ hay n u →−∞ khi . n →+∞

Nhận xét: ( ) lim . n n u u = +∞⇔ − = −∞

Nhận xét

a) lim k n = +∞ với k nguyên dương;

b) lim n q = +∞nếu 1 q > .

c) Nếu lim n u a = và lim nv = ±∞ thìlim 0 n

n

u v = .

d) Nếu lim 0 n u a = > , lim 0 nv = và 0, 0 nv n > ∀> thì lim . n

n

u v = +∞

e) ( ) lim lim n n u u = +∞⇔ − = −∞

e) Nếu lim n u = +∞ và lim 0 nv a = > thì lim . . n n u v = +∞

CHÚ Ý:

Quy tắc tìm giới hạn tích ( ) n n lim u .v

Nếu n n limu L,lim v (hay ) = = +∞ −∞. Khi đó ( ) n n lim u v

n limu L = n lim v ( ) n n lim u v

+ +∞ +∞ + −∞ −∞ − +∞ −∞ − −∞ +∞

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

Page 3 Sưu tầm và biên soạn

Quy tắc tìm giới hạn thương n

n

u lim v

n limu n lim v Dấu của n v n

n

u lim v

L ±∞ Tùy ý 0

L 0 >

0 + +∞ 0 − −∞

L 0 < 0 + −∞ 0 − +∞

Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích trong bài toán giới hạn vô cực của dãy số.

TÓM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT

Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt:

;

;

2. Định lí: a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì • lim = a + b • lim = a – b • lim = a.b

•

b) Nếu un ≥ 0, ∀n và lim un= a

thì a ≥ 0 và lim

c) Nếu ,∀n và lim vn = 0

thì lim un = 0

d) Nếu lim un = a thì

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … =

1. Giới hạn đặc biệt:

;

2. Định lí:

a) Nếu thì

b) Nếu lim un = a, lim vn = ±∞ thì lim = 0

c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim vn = 0

thì lim =

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a

thì lim =

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô

định: , , ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử

dạng vô định.

1 lim 0 n n →+∞ = 1 lim 0 ( ) k n k n

+

→+∞ = ∈

lim 0 ( 1) n

n q q →+∞ = < lim n C C →+∞ =

lim n

n

u a v b =

n u a =

n n u v ≤

lim n u a =

1 1

u

q − ( ) 1 q <

lim n = +∞ lim ( ) k n k + = +∞ ∈

lim ( 1) n q q = +∞ >

lim n u = +∞ 1 lim 0 n u =

n

n

u

v

n

n

u

v

. 0 . 0 n

n

neáu a v neáu a v +∞ > −∞ < 

0 0 neáu a neáu a +∞ > −∞ < 

0 0

∞ ∞