Chuyên đề giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục

NHÓM CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN TOÁN THPT NĂM HỌC: 2021-2022

Trang 1

Chương IV. Giới hạn Dạng 1.1. Câu hỏi lý thuyết A. PHƯƠNG PHÁP

I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu nu có thể nhỏ hơn một

số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim 0 n n u →+∞ = hay 0 n u → khi n →+∞.Ta nói dãy số ( ) nv có giới hạn là a (hay nv

dần tới a ) khi n →+∞, nếu ( ) lim 0 n n v a →+∞ − = .

Kí hiệu: lim n n v a →+∞ = hay nv a → khi n →+∞.

Một vài giới hạn đặc biệt

a) 1 lim 0 n n →+∞ = ; 1 lim 0 k n n →+∞ = với k nguyên dương;

b) lim 0 n

n q →+∞ = nếu | | 1 q < ;

c) Nếu n u c = (c là hằng số) thì lim lim n n n u c c →+∞ →+∞ = = .

Chú ý: Từ nay về sau thay cho

~ lim n n u a →+ = ta viết tắt là lim n u a = .

Định lí 1 a) Nếu lim n u a = và lim nv b = thì

- ( ) lim n n u v a b + = +

- ( ) lim n n u v a b − = −

- ( ) lim n n u v a b ⋅ = ⋅

- lim n

n

u a v b

 =    

(nếu ) 0 b ≠ .

b) Nếu lim

0,

n

n

u a

u n

=   ≥ ∀ 

thì lim 0

n u a a

 = ≥ 

.

II. GIỚI HẠN VÔ CỰC

Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là +∞ khi n →+∞, nếu nu có thể lớn hơn một số dương bất

kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim n u = +∞ hay nu →+∞ khi n →+∞.

- Dãy số ( ) nu có giới hạn là −∞ khi n →+∞, nếu ( ) lim nu − = +∞

Kí hiệu: lim n u = −∞ hay nu →−∞ khi n →+∞.

Nhận xét: ( ) lim n n u u = +∞⇔ − = −∞.

Một vài giới hạn đặc biệt

a) lim k n = +∞ với k nguyên dương.

b) lim n q = +∞ nếu 1 q > .

Định lí 2

a) Nếu lim n u a = và lim nv = ±∞ thì lim 0 n

n

u v = .

NHÓM CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN TOÁN THPT NĂM HỌC: 2021-2022

Trang 2

b) Nếu lim 0,lim 0 n n u a v = > = và 0, nv n > ∀ thì lim n

n

u v = +∞.

c) Nếu lim n u = +∞ và lim 0 nv a = > thì . lim n n u v = +∞.

B.2. Bài tập trắc nghiệm. Câu 1. Phát biểu nào sau đây là sai ? A. lim nu c = ( nu c = là hằng số ). B. lim 0 n q = ( ) 1 q > .

C. 1 lim 0 n = . D. 1 lim 0 kn = ( ) 1 k > .

Lời giải

GVSB: Phạm Quốc Toàn; GVPB: Thúy Kiều Chọn B Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số thì lim 0 n q = ( ) 1 q < .

Câu 2. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. Nếu lim nu = +∞, thì lim nu = +∞. B. Nếu lim nu = +∞, thì lim nu = −∞.

C. Nếu lim 0 nu = , thì lim 0 n u = . D. Nếu lim nu a = −, thì lim n u a = .

Lời giải

GVSB: Phạm Quốc Toàn; GVPB: Thúy Kiều Chọn C Ta có nếu lim 0 nu = , thì lim 0 n u = .

Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. lim 0 nv = nếu ( ) lim 0 nv a + = . B. lim nv a = nếu ( ) lim 0 nv a − = .

C. lim 0 nv = nếu ( ) lim 0 nv a − = . D. lim nv a = nếu ( ) lim 0 nv a + = .

Lời giải

GVSB: Phạm Quốc Toàn; GVPB: Thúy Kiều Chọn B Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số

lim nv a = nếu ( ) lim 0 nv a − = .

Câu 4. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai? Nếu lim nu a = và lim nv b = thì

A. ( ) lim n n u v a b + = + . B. lim n

n

u a v b = .

C. ( ) lim n n u v a b − = −. D. ( ) lim . . n n u v a b =

Lời giải

GVSB: Phạm Quốc Toàn; GVPB: Thúy Kiều Chọn B

Theo định lý về giới hạn hữu hạn, ta có: lim n

n

u a v b = (nếu 0 b ≠ ).

Câu 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn −∞ khi n →+∞, nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì,

kể từ một số hạng nào đó trở đi.