Các dạng toán và bài tập giới hạn và liên tục - Nguyễn Trọng

ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !

CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN

Mục lục BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ................................................................................................. 1

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................... 2

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ............................................................................................... 3

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ..................................................................................................... 22

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ .............................................................................................. 25

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................. 25

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ............................................................................................. 26

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ..................................................................................................... 70

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ...................................................................................................... 113

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ................................................................................................ 113

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ........................................................................................... 114

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ................................................................................................... 138

BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV .................................................................................................. 139

A. BÀI TẬP .......................................................................................................................... 139

B. LỜI GIẢI.......................................................................................................................... 145

ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

2 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1 (Giới hạn bằng 0 ). Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim 0 n n u →+ = hay lim 0 n u = hay 0 n u → khi n →+.

Định nghĩa 2 (Giới hạn bằng a ). Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là số thực a nếu ( ) lim 0 nu a − = . Khi đó ta viết lim n n u a →+ = hay lim n u a = hay n u a → khi n →+. Dãy số có giới hạn là số a hữu hạn gọi là

dãy số có giới hạn hữu hạn. Định nghĩa 3 (Giới hạn vô cực).

1. Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là + khi n →+ nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ký hiệu: lim n u = + hay n u →+ khi n →+. 2. Dãy số ( ) nu có giới hạn là − khi n →+ nếu ( ) lim nu − = +. Ký hiệu: lim n u = − hay n u →− khi n →+.

GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC

Các giới hạn đặc biệt

• ( ) * 1 lim 0, k k n =  .

• ( ) lim 0, 1 n q q =  .

• ( ) lim , C C C = 

Các giới hạn đặc biệt

• ( ) * lim , kn k = +  .

• ( ) lim 0, 1 n q q =  .

Định lí 1. Nếu lim n u a = và lim nv b = thì

• ( ) lim n n u v a b  =  .

• ( ) lim n n u v a b  = .

• ( ) lim 0 n

n

u a b v b =  .

• Nếu 0, n u n   và lim n u a = thì 0 a 

và lim nu a = .

Định lí 2.

• Nếu lim n u a = và lim nv =  thì

lim 0 n

n

u

v = .

• Nếu lim 0 n u a =  và lim 0 nv = và

0, nv n   thì lim n

n

u

v = +.

• Nếu lim n u = + và lim 0 nv a =  thì ( ) lim n n u v  = +.

Định lí 3 (Nguyên lý kẹp). Cho ba dãy số ( ) ( ) ( ) , , n n n u v w . Lúc đó, nếu , n n n u v w n    và ( ) lim lim , n n u w a a = =  thì lim nv a = .

Định nghĩa 4. Cấp số nhân ( ) nu có công bội q được gọi kà cấp số nhân lùi vô hạn nếu 1 q .

Nhận xét. Cho cấp số nhân lùi vô hạn ( …