Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục - Diệp Tuân

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài 1. Giới Hạn Dãy số

1 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

4 GIỚI HẠN

A. L TH T I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0. 1. Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số   n u có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho

trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Bằng cách sử dụng các kí hiệu toán học, định nghĩa trên có thể viết như sau:

  0 0 lim 0 0, : n n u n n n u         .

Kí hiệu:   lim 0 n u  hoặc lim 0 nu  hoặc 0 n u 

Ví dụ 1. Chứng minh dãy số  1

4 5

n

nu n

   sau đây có giới hạn là 0.

Lời giải ........................................................................................................

........................................................................................................

.....................................................................................................

.....................................................................................................

........................................................................................................

........................................................................................................

........................................................................................................

.....................................................................................................

.....................................................................................................

.....................................................................................................

2. Nhận xét

lim 0 lim 0. n n u u   

Nếu   n u có 0 n u  , * n  thì lim lim0 0 nu   .

Cho hai dãy số   n u và   nv . Nếu

  lim 0

n n

n

u v

v

    

thì lim 0 n u  .

Đây là một nhận xét quan trọng để chứng minh giới hạn bằng 0 bằng định nghĩa.(giới hạn kẹp). 3. Các dãy số có giới hạn 0 thường gặp.

1 lim 0 n  1 lim 0 n   0  lim 0 C

n  với C là hằng số

1 lim 0 k n n     k   1 lim 0 k n

   2, k k   lim 0 n q    1 . q 

4. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0

a).  1

3 2

n

nu n

   . b). 3 sin 2

2 n

n n u n   . c).  1 cos n

n

n u

n

  . d.) 2 3sin 4cos 2 1 n

n n u n

   .

Lời giải ........................................................................................................

........................................................................................................

.....................................................................................................

.....................................................................................................

........................................................................................................

........................................................................................................

.....................................................................................................

.....................................................................................................

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ