Tài liệu tự học hàm số liên tục - Nguyễn Trọng

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !

Page1

CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

– Giả sử hàm số ( ) f x xác định trên khoảng ( ) ;a b và ( ) 0 ; x a b  . Hàm số ( ) y f x = gọi là liên

tục tại điểm 0x nếu ( ) ( )

0 0 lim x x f x f x → = .

– Hàm số không liên tục tại điểm 0x gọi là gián đoạn tại 0x .

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn

– Giả sử hàm số ( ) f x liên tục trên khoảng ( ) ;a b . Ta nói rằng hàm số ( ) y f x = liên tục trên

khoảng ( ) ;a b nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

– Hàm số ( ) y f x = gọi là liên tục trên đoạn   ;a b nếu nó liên tục trên khoảng ( ) ;a b và

( ) ( ) ( ) ( ) lim , lim x a x b f x f a f x f b + − → → = = .

Nhận xét:

– Nếu hai hàm ( ) f x và ( ) g x liên tục tại điểm 0x thì các hàm số ( ) ( ) f x g x  , ( ) ( ) . f x g x ,

( ) .c f x (với c là hằng số) đều liên tục tại điểm 0x .

– Hàm số đa thức liên tục trên . Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

3. Tính chất của hàm số liên tục

– Định lý về giá trị trung gian: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn   ;a b . Nếu ( ) ( ) f a f b  thì với

mỗi số thực M nằm giữa ( ) ( ) , f a f b tồn tại ít nhất một điểm ( ) ; c a b  thoả mãn ( ) f c M = .

– Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn   ;a b và M là một số thực nằm giữa ( ) ( ) , f a f b

thì đường thẳng y M = cắt đồ thị hàm số ( ) y f x = tại ít nhất một điểm có hoành độ ( ) ; c a b  .

– Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn   ;a b và ( ) ( ) . 0 f a f b  thì tồn tại ít nhất một điểm

( ) ; c a b  sao cho ( ) 0 f c = . Ta thường vận dụng theo hai hướng sai:

+ Vận dụng chứng minh phương trình có nghiệm: “Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục trên đoạn   ;a b và

( ) ( ) . 0 f a f b  thì phương trình ( ) 0 f x = có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( ) ;a b ”.

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !

Page2

+ Vận dụng trong tương giao đồ thị: “Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục trên đoạn   ;a b và

( ) ( ) . 0 f a f b  thì đồ thị của hàm số ( ) y f x = cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ ( ) ; c a b 

”.

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

_DẠNG 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại điểm 0 x x = khi ( ) ( )

0 0 lim x x f x f x → = hoặc ( ) ( ) ( )

0 0 0 lim lim x x x x f x f x f x − + → → = =

 VÍ DỤ

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số

2 3 2 2 ( ) 2 4 7 2

x x khi x f x x x khi x

 − +   = −   − = 

tại điểm 0 2 x = .

ĐS: Liên tục

Lời giải

Ta có 0 ( ) (2) 4.2 7 1 f x f = = − =

2

2 2 2 3 2 ( 2)( 1) lim ( ) lim lim 1 2 2 x x x x x x x f x x x → → → − + − − = = = − −

Suy ra

2 (2) lim ( ) x f f x → = nên hàm số ( ) f x liên tục tại điểm 0 2. x =

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số

3 2 1 1 ( )

1 1 3

x khi x x f x

khi x

 + −   − = 

 = 

tại điểm 0 1 x = .

ĐS: Không liên tục

Lời giải

Ta có 0

1 ( ) (1) . 3 f x f = =

1 1 1 1 3 2 1 1 1 lim ( ) lim lim lim 1 4 ( 1)( 3 2) 3 2 x x x x x x f x x x x x → → → → + − − = = = = − − + + + +

Suy ra

1 (1) lim ( ) x f f x →  nên hàm số ( ) f x không liên tục tại điểm 0 1 x = (hay gián đoạn tại

điểm 0 1 x = ).