Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục - Nguyễn Chín Em

MỤC LỤC

CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN 1

1 GIỚI HẠN DÃY SỐ 1

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1

1 DÃY SỐCÓ GIỚI HẠN 0 1

1.1 Định nghĩa dãy sốcó giới hạn 0 1

1.2 Một sốdãy sốcó giới hạn 0 thường gặp 1

2 DÃY SỐCÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN 1

2.1 Định nghĩa dãy sốcó giới hạn 1

2.2 Một sốđịnh lí 1

2.3 Tổng quát của cấp sốnhân lùi vô hạn 2

3 DÃY SỐCÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 2

3.1 Dãy sốcó giới hạn +∞ 2

3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực 2

3.3 Một sốkết quả 3

B CÁC DẠNG TOÁN 3

Dạng 1. Sửdụng định nghĩa chứng minh rằng lim un = L 3

Dạng 2. Tính giới hạn của dãy sốbằng các định lí vềgiới hạn 4

Dạng 3. Tính tổng của cấp sốnhân lùi vô hạn 6

Dạng 4. Dãy sốcó giới hạn vô cực 7

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 9

ĐÁP ÁN 50

2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 51

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 51

1 Giới hạn của hàm sốtại một điểm 51

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 4 - Giải tích 11

2 Giới hạn của hàm sốtại vô cực 51

3 Một sốđịnh lí vềgiới hạn hữu hạn 51

4 Giới hạn một bên 52

5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực 52

6 Các dạng vô định 53

B CÁC DẠNG TOÁN 53

Dạng 1. Sửdụng định nghĩa giới hạn của hàm sốtìm giới hạn 53

Dạng 2. Chứng minh rằng lim x→x0 f(x) không tồn tại 54

Dạng 3. Các định lí vềgiới hạn và giới hạn cơ bản đểtìm giới hạn 54

Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số 57

Dạng 5. Giới hạn của hàm sốsốkép 59

Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực 59

Dạng 7. Dạng 0

0 61

Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0 · ∞, ∞0. 79

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 80

ĐÁP ÁN 136

3 HÀM SỐLIÊN TỤC 138

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 138

1 Hàm sốliên tục tại một điểm 138

2 Hàm sốliên tục trên một khoảng 138

3 Các định lí vềhàm sốliên tục 139

B CÁC DẠNG TOÁN 139

Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm sốtại một điểm - Dạng I 139

Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm sốtại một điểm - Dạng II 140

Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm sốtrên một khoảng 141

Dạng 4. Sửdụng tính liên tục của hàm sốđểchứng minh 143

Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra

CHƯƠNG4 GIỚI HẠN

BÀI1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 DÃY SỐCÓ GIỚI HẠN 0

1.1 Định nghĩa dãy sốcó giới hạn 0

Định nghĩa 1. Ta nói dãy số(un) có giới hạn là 0 (hay giới hạn là 0) nếu mọi sốhạng của dãy sốđều có giá trịtuyệt đối nhỏhơn một sốdương nhỏtùy ý cho trước kểtừmột sốhạng nào đó trởđi

Khi đó ta viết:

lim n→+∞(un) = 0 viết tắt là lim (un) = 0 hoặc un →0

Nhận xét.

1 Dãy số(un) có giới hạn là 0 khi và chỉkhi dãy số(|un|) có giới hạn là 0.

2 Dãy sốkhông đổi (un) với un = 0 có giới hạn 0.

1.2 Một sốdãy sốcó giới hạn 0 thường gặp

Từđịnh nghĩa, ta có kết quả:

• lim 1 n = 0 • lim 1 √n = 0 • lim 1

3√n = 0

Định lí 1. Cho hai dãy số(un) và (vn). Nếu |un| ⩽vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0

Định lí 2. Nếu |q| < 1 thì lim qn = 0

2 DÃY SỐCÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

2.1 Định nghĩa dãy sốcó giới hạn

Định nghĩa 2. Ta nói dãy số(un) có giới hạn là sốthực L (hay giới hạn là L) nếu lim x→+∞(un −L) = 0

Khi đó ta viết:

lim n→+∞(un) = L viết tắt là lim (un) = L hoặc un →L

2.2 Một sốđịnh lí

Định lí 3. Giảsửlim un = L. Khi đó: • lim |un| = |L| và lim 3√un = 3√

L • Nếu un ⩾0 với mọi n thì L ⩾0 và lim √un = √

L

Định lí 4. Giảsửlim un = L, lim vn = M. Khi đó:

■Các dãy số(un + vn), (un −vn), (un.vn) và (c.un) có giới hạn và:

lim (un + vn) = L + M 1 lim (un −vn) = L −M 2

lim (un.vn) = L.M 3 lim (c.un) = c.L 4

1